Question

圆环转轴沿直径的转动惯量是怎么推出来的？

Answer 1

通过圆环中心轴推出。
首先要理解什么是薄圆环，所谓薄圆环指的是径向厚度趋近于零，也就是内径和外径无限接近。
也就是内外径近似可以看做一个定值：R
则：沿圆周的线密度：ρ=m/2πR
沿圆周的方向取Δθ,
由：J=mR^2
则有：ΔJ=R^2dm
dm=(m/2πR)Rdθ
故有：dJ=R^2dm=R^2(m/2πR)Rdθ=(R^2m/2π)dθ
两边积分，积分区间[0，2π]：J=2π（R^2m/2π）=R^2m
通过圆环直径轴。
取角度为：θ处的任意小的角度：Δθ，θ为转轴与直径的夹角。
则有：dJ=（Rcosθ）^2dm=（Rcosθ）^2(m/2πR)Rdθ=R^2（cos2θ+1）^2mdθ/4π
两边积分，积分区间为：[0，2π]：J=(mR^2sin2θ)/2+mR^2/2=0+mR^2/2=mR^2/2

Answer 2

建立坐标系

对中心轴也就是对z轴的圆环转动惯量是 mr^2

这里因为是圆环，明显可知 Ix=Iy

所以就是1/2 Iz=1/2mr^2

Answer 3

由垂直轴定理可以推导其计算式。