Question

设函数f(x)=-1/3x3+2ax2-3a2x+1,0<a<1,若当x属于【a,2】,恒有f(X)<=0.，试确定a的取值范围

Answer 1

解：
f(x)=(-1/3)x³+2ax²-3a²x+1
该函数的定义域为R，显然在该定义域内函数连续，可导，因此：
f'(x)=-x²+4ax-3a²
令f'(x)=0，则：
-x²+4ax-3a²=0
(x-a)(x-3a)=0
因此：
x=a或者3a
1）
当a<0，3a<a，因此，
当x<3a和a<x<2时，f'(x)>0，f(x)此时是增函数
当3a<x<a时，f'(x)<0，f(x)此时是减函数
∵x∈[a,2]恒有f(x)≤0
因此，必有f(2)≤0
(-8/3)+8a-6a²+1≤0
(4-√6)/6≤a≤(4+√6)/6
因此：
(4-√6)/6≤a<0
2）
当a>0时，3a>a，因此：
当x<a和x>3a时，f'(x)>0，f(x)此时是增函数
当a<x<3a时，f'(x)<0，f(x)此时是减函数
由此可知，x=a是f(x)极大值点
∵x∈[a,2]恒有f(x)≤0
必有：
f(a)≤0
(-1/3)a³+2a³-3a³+1≤0
a≥(3/4)^(1/3)
因此：
(3/4)^(1/3)≤a<2

追问

老大，a是有范围的，0<a<1

追答

不好意思

解：
f(x)=(-1/3)x³+2ax²-3a²x+1
该函数的定义域为R，显然在该定义域内函数连续，可导，因此：
f'(x)=-x²+4ax-3a²
令f'(x)=0，则：
-x²+4ax-3a²=0
(x-a)(x-3a)=0
因此：
x=a或者3a
当a>0时，3a>a，因此：
当x3a时，f'(x)>0，f(x)此时是增函数
当a<x<3a时，f'(x)<0，f(x)此时是减函数
由此可知，x=a是f(x)极大值点
∵x∈[a,2]恒有f(x)≤0
必有：
f(a)≤0
(-1/3)a³+2a³-3a³+1≤0
a≥(3/4)^(1/3)
因此：
(3/4)^(1/3)≤a<1

追问

对不起，还得麻烦你看一下，导函数的开口是向下的，那个单调区间是不是求反了啊

追答

晕死，你又说对了，我是求反了，万分抱歉！
解：
f(x)=(-1/3)x³+2ax²-3a²x+1
该函数的定义域为R，显然在该定义域内函数连续，可导，因此：
f'(x)=-x²+4ax-3a²
令f'(x)=0，则：
-x²+4ax-3a²=0
(x-a)(x-3a)=0
因此：
x=a或者3a
当a>0时，3a>a，因此：
当x3a时，f'(x)>0，f(x)此时是减函数
当a<x<3a时，f'(x)<0，f(x)此时是增函数
因此：
x=a是f(x)的极小值
x=3a是f(x)的极大值
1）
当0<a<2/3时，
∵x∈[a,2]恒有f(x)≤0
f(3a)≤0
(-1/3)27a³+18a³-9a³+1≤0
1≤0，不成立
2）
当2/3<a<1时：
∵x∈[a,2]恒有f(x)≤0
因此：
f(2)≤0
(-8/3)+8a-6a²+1≤0
(4-√6)/6≤a≤(4+√6)/6
因此：
2/3<a≤(4+√6)/6

Answer 2

(1):y'=-x²+4ax-3a²,令y`=0

x1=a,x2=3a

当a<x<3a,f`(x)>0,f(x)↑
当x>3a,或a>x,f`(x)>0,f(x)↓
所以：x=a,f(a)是最小值，得：
f(a)=1-4a³/3
现0<a<1,
则0<3a<3,
若2≤3a即2/3≤a<1时
当x属于【a,2】恒有f(X)<=0.

即f(2)<=0.得（8-√6)/12≤a<1
若3a<2即0<a<2/3时
当x属于【a,2】恒有f(X)<=0.
即f(3a)<0.此时无解
综上（8-√6)/12≤a<1

Answer 3

(1):y`=-x²+4ax-3a²,令y`=0
→x1=a,x2=3a
→当a<x<3a,f`(x)<0,f(x)↓
当x>3a,或a>x,f`(x)>0,f(x)↑
所以：x=a,f(a)是最大值，得：
f(a)=1-4a³/3
(2):-a≤f`(x)≤a
→f`(x)≤|a|
→f`(x)≤a
→-x²+4ax-3a²-a≤0
→△≤0
→16a²≤4(3a²+a)
→0≤a≤1