Question

△ABC三边abc和面积满足S=c2-(a-b)2,且a+b=2

△ABC的三边a,b,c和面积S满足S=c2-(a-b）2，且a+b=2,求面积S的最大值
面积公式：S=1/2ab*sinC
和余弦定理
如下：
S=(absinC)/2
c^2-(a-b)^2=c^2-a^2-b^2+2ab=2ab(1-cosC)
得sinC=4(1-cosC),两边平方后
1-(cosC)^2=16(1-cosC)^2
(1-cosC)(15+17cosC)=0
cosC=-15/17 (cosC=1时C=0,舍去）
sinC=8/17
S最大值为S=(absinC)/2≤4/17

这道题目网上有解答，但是“由a+b≥2根号(ab)得ab≤1”倒数第二步，是怎么得到这个式子的？

Answer 1

a+b=2
由a+b≥2√ab
2≥2√ab
√ab≤1
ab≤1

所以
sinC=8/17
S最大值为S=(absinC)/2≤(1x8/17)/2=4/17

追问

“a+b≥2√ab”？？？

追答

是的 这是完全平方公式的变形，证明如下：
设a 与 b均为正数，则
(√a-√b)²≥0
展开，得
a-2√ab+b≥0
即a+b≥2√ab
当且仅当a=b时取等号。
证毕。

Answer 2

用均值不等式，是个公式