Question

已知，如图(1)在平面直角坐标系xoy中，边长为2的等边三角形OAB 的顶点B在第一象限，顶点A 在x轴的正半轴

Answer 1

已知，如图(1)在平面直角坐标系xoy中，边长为2de等边三角形OAB de顶点B在第一象限，顶 ...
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：（1）过点C作CD⊥OA于点D．（如图）

∵OC=AC，∠ACO=120°，
∴∠AOC=∠OAC=30°．
∵OC=AC，CD⊥OA，∴OD=DA=1．
在Rt△ODC中，三十度所对de边为斜边de一半，所以oc=三分之二倍根号三
（i）当0＜t＜三分之二时，OQ=t，AP=3t，OP=OA-AP=2-3t．
过点Q作QE⊥OA于点E．（如图）
在Rt△OEQ中，∵∠AOC=30°，∴QE=二分之一，OQ=二分之t，
∴S△OPQ=二分之一，OP?EQ=二分之一（2-3t）?二分之t=-四分之三t2+二分之一t，
即S=-四分之三t2+二分之一t；（3分）
（ii）当三分之二≤t＜三分之四时（如图）

OQ=t，OP=3t-2．
∴∠BOA=60°，∠AOC=30°，∴∠POQ=90°．
∴S△OPQ=二分之一OQ?OP=二分之一t?（3t-2）=三分之二t2-t，
即S=-三分之二t2-t；
故当0＜t＜三分之二时，S=-四分之三t2+二分之一t，当三分之二≤t＜三分之四时，S=二分之三t2-t（5分）

（2）D（三分之根号三，1）或（三分之二倍根号三，0）或（三分之二，0）或（三分之四，三分之二倍根号三）（9分）

（3）△BMNde周长不发生变化．理由如下：
延长BA至点F，使AF=OM，连接CF．（如图）

又∵∠MOC=∠FAC=90°，OC=AC，
∴△MOC≌△FAC，
∴MC=CF，∠MCO=∠FCA．（10分）
∴∠FCN=∠FCA+∠NCA=∠MCO+∠NCA
=∠OCA-∠MCN
=60°，
∴∠FCN=∠MCN．
又∵MC=CF，CN=CN，
∴△MCN≌△FCN，
∴MN=NF．（11分）
∴BM+MN+BN=BM+NF+BN=BO-OM+BA+AF=BA+BO=4．
∴△BMNde周长不变，其周长为4．