Question

一道初三的数学题，求解！！！

如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，且AE∶BC=2分之√6，求∠B的大小．

Answer 1

(1)证明：因为MN∥BC，所以∠OEC=∠ECB ∠OFC=∠FCD
又因为EC是∠BCA的平分线，
所以∠ACE=∠ECB
所以∠OEC=∠ACE
所以OE=OC
FC是∠ACD的平分线
所以∠ACF=∠FCD
所以∠ACF=∠OFC
所以OC=OF
因为OC=OC
所以EO=FO

（2）矩形的对角线相等且互相平分，所以若要使四边形AECF是矩形
因为OE=OF，只要OA=OC,又OE=OF=OC,则四边形AECF就是矩形。
所以，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形。

（3）因为四边形AECF是正方形
所以∠ECF是直角，∠ACE=∠AEC=∠ECB=45度
所以∠ACB=90度
AC=根号2*AE
AE∶BC=2分之√6
所以AE=AC/根号2 这里AE就可以用AC来表示。
运用正切公式，tan∠B=AC/BC

这个结果就自己算吧，毕业太久了，很多公式都不太记得了。

Answer 2

（1）由于两直线平行，内错角相等；所以∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠DCF.
又CE,CF分别为∠BCA和∠DCA的平分线，所以∠ACF=∠DCF,∠ACE=∠BCE.
即△OCE与△OCF为等腰三角形，OE=OC=OF.
（2）∠ECF=∠OCE+∠OCF=1/2（∠ABC+∠ACD）=90度，当O运动到AC中点时，由于两
对角线相互平分的定理，可得四边形AECF是矩形。
（3）AE∶BC=2分之√6，AE=√6/2*BC，AC=√2*AE=√3BC
AECF是正方形，即两对角线互相垂直，AC垂直于EF，又EF//BD，所以AC垂直于BD。
直角三角形ABC，一条直角边为另一条直角边的√3，∠B=60度。

Answer 3

解：（1）因为MN//BD
所以角BCE=角CEF，角DCF=角EFC
又因为CE,CF分别为角BCA和角DCA的角平分线
所以角ACE=角BCE=角CEF，角ACF=角DCF=角EFC
即OC=OE,OF=OC
所以EO=FO
（2）假设四边形AECF是矩形
则AO=OC(矩形的对角线相互平分且相等)
所以当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形
（3）因为四边形AECF是正方形
角ACE=角ACF=45，且AC:AE=√2:1
又因为角BCE=角ACE
所以角ACB=90
因为AE∶BC=√6：2
所以BC：AC=1：√3
即角B=60

Answer 4

证明：（1）因为EC平分∠ACB，所以∠ECB=∠ECA；又因为MN//BC，所以∠OEC=∠ECB，因此，∠OEC=∠OCE；所以，OE=OC；同理可得，OF=OC。所以有OE=OF。
（2）当O为AC中点时，由（1）的证明过程可知，OA=OC＝OE＝OF，所以，四边形AECF为矩形。
（3）因为四边形AECF为正方形，所以AC和EF相互垂直平分且相等，则有AO=2分之√2AE；因为AE：BC=2分之√6，又因为MN//BC，O为AC中点，所以，2OM=BC，∠AMO=∠B；因此在RT⊿AOM中，tan∠AMO=OA：OM=2分之√3，所以∠B=∠AMO=60°。

Answer 5

（1）角OEC=角OCE，OE=OC，同理OF=OC
（2）角ECF=角OEC+OFC,ECF=90度。当OA=OC，即O为AC中点时，为菱形，又因为90度，所以是矩形。
（3）过O做EC垂线，求出长度为AE的1／2，OC长度为AE的二分之根号二，求出角ACE为45度，ACB为90度。
BC=三分之根号六AE，所以AC／BC=根号三，所以为60度。