Question

如图,在梯形ABCD中,AB‖CD,∠A=90°,AB=2,BC=3,CD=1,E是AD的中点(1)求证

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD的中点（1）求证：△CDE∽△EAB；（2）△CDE与△CEB可能相似吗？若相似，请给出证明过程；若不相似，请简述理由

Answer 1

(1)过C点做CF垂直AB于点F，有BC²=CF²+BF²=AD²+1²=9，所以AD²=8 ED²=AE²=AD²/4=8/4=2
CE²=CD²+DE²=1+2=3
BE²=AE²+AB²=2+4=6
EC²+AB²=3+6=9=BC²
所以：△EBC是直角三角形。所以角AEB+角DEC=90° 又因为角ABE+角AEB=90°所以三个角对应相等（自己规矩一下）所以：△CDE∽△EAB
（2）过E做EH∥AB， 有EH⊥AD EH=HC=HB=1.5 角的关系就很好找了，希望自己研究一下。很好解决。

Answer 2

1）过点C作CH⊥AB交AB于H
∵AB∥CD，∠A=90°
∴四边形AHCD是矩形
∵AB=2，BC=3，CD=1
∴HB=AB-AH=2-1=1
∴CH=根号(BC^2-HB^2)
=根号（3^2-1^2）
=2*根号2
∴AD=CH=2*根号2
∵E是AD的中点
∴DE=EA=根号2
∵DC/DE=1/根号2=(根号2)/2
AE/AB=(根号2)/2=DC/DE
∴CDE∽△EAB

2）∵EC=根号（DC^2+DE^2）=根号（1^2+2）=根号3
EB=根号（AE^2+AB^2）=根号（2+4）=根号6
EC/CD=根号3/1=根号3
EB/DE=根号6/根号2=根号3
BC/EC=3/根号3=根号3
∴△CDE∽△CEB

Answer 3

过C作CF垂直于AB，垂足为F。则AD=CF=2倍的根号2
E是AD的中点，则AE＝DE＝根号2，△CDE,与△EAB中直角相等，两直角边对应成比例，所以相似。
（2）相似，用勾股定理求出需要的边长，CD：CE=DE：BE=1：√3，又因为∠D=∠CEB=90°所以△CDE∽△CEB。

Answer 4

（1）、过点C做CF垂直于AB，BF=1，则勾股定理CF=2√2=AD，DE=√2，勾股定理CE=√3，同理，BE=√6，则CE²+BE²=BC²，∠CEB=90°，则可证∠CED=∠EBA，又因为∠D=∠CEB=90°，所以△CDE∽△EAB。
（2）、相似，因为CD：CE=DE：BE=1：√3，又因为∠D=∠CEB=90°所以△CDE∽△CEB。