Question

如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点的坐标是（0,0），B点的坐标是（3,4），矩形ABCD沿

如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点的坐标是（0,0），B点的坐标是（3,4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E,F分别在AD和AB上，且F点的坐标是（2,4）。（3）点N在x轴上，直线EF是否存在点M,使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）由已知得，FG=AF=2，FB=1
∵四边形ABCD为矩形
∴∠B=90°
BG=FG2-FB2=22-12=3
∴G点的坐标为（3，4-3）；

（2）设直线EF的解析式是y=kx+b
在Rt△BFG中，cos∠BFG=FBFG=12
∴∠BFG=60°
∴∠AFE=∠EFG=60°
∴AE=AFtan∠AFE=2tan60°=23
∴E点的坐标为（0，4-23）
又F点的坐标是（2，4）
∴b=4-2
32k+b=4​
解得k=3，b=4-23；
∴直线EF的解析式为y=3x+4-23；注：
求E点坐标方法二：过点E作EP⊥BC于点P，利用△BFG∽△PGE得到OE=4-23，所以E（0，4-23）；
求E点坐标方法三：过点E作EP⊥BC于点P，在Rt△GEP中，由勾股定理得EG2=GP2+EP2，得到OE=4-23，所以E（0，4-23）；
求E点坐标方法四：连接AG，证△AEG是等边三角形，得到OE=4-23，所以E（0，4-23）．3）若以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，则可能存在以下情形
①FG为平行四边形的一边，且N点在x轴正半轴上，如图1所示．
过M1点作M1H⊥x轴于点H，
∵M1N1∥FG，
∴∠HM1N1=∠HQF，
又∵AB∥OQ，
∴∠HQF=∠BFG，
∴∠HM1N1=∠BFG
又∵∠M1HN1=∠B=90°，M1N1=FG，
∴△M1HN1≌△GBF，
∴M1H=GB=3，即yM1=3．
由直线EF解析式y=3x+4-23，求出xM1=3-4
33．
∴M1（3-4
33，3）；
②FG为平行四边形的一边，且N点在x轴负半轴上，如图2所示．
仿照与①相同的办法，可求得M2（1-4
33，-3）；③FG为平行四边形的对角线，如图3所示．过M3作FB延长线的垂线，垂足为H．易证△M3FH≌△GN3C，则有M3H=CG=4-3，所以M3的纵坐标为8-3；
代入直线EF解析式，得到M3的横坐标为1+4
33．
∴M3（1+4
33，8-3）．
综上所述，存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形．
点M的坐标为：M1（3-4
33，3），M2（1-4
33，-3），M3（1+4
33，8-3）．

Answer 2

设EG与X轴交于P，直线EF：Y=√3X+(4-2√3)，
则P(2-4√3/3，0)
①MN∥FG，MN=FG的情况：则ΔMNP是等边三角形，
∴PN=FG=2，∴N(4-4√3/3，0)或(-4√3/3，0)
M1(1-2√3/3，2-√3)，M2(3-4√3/3，2+√3)
②MN是对角线。G(3，4-√3)，FG中点(5/2，4-1/2√3)
∴M的纵坐标：8-√3，
∴8-√3=√3X+(4-2√3)，√3X=4+√3，
X=4√3/3+1
∴M3(4√3/3+1，8-√3)。