Question

(1)已知数列an的前n项和为sn满足sn=an²+bn,求证an是等差数列

(2)已知等差数列an的前n项和为sn，求证数列sn/n也成等差数列

Answer 1

Sn=an²＋bn
则：
当n=1时，a1=S1=a＋b
当n≥2时，an=Sn－S(n－1)=[an²＋bn]－[a(n－1)²＋b(n－1)]=2an－(a－b)，其中n≥2
当n=1时，也满足上式。
得：an=2an－(a－b)
当n≥2时，an－a(n－1)=2a=常数。
则数列{an}是等差数列。

Sn/n=an＋n
则：[S(n＋1)/(n＋1)]－[Sn/n]=a=常数
数列{Sn/n}也是等差数列。

Answer 2

(1)
没有资料关于bn，题目有漏
(2)
an= a1+(n-1)d
Sn = (2a1+(n-1)d) n/2
bn = Sn/n = (2a1+(n-1)d)/2 (1)
b(n-1) =(2a1+(n-2)d)/2 (2)
(1) -(2)
bn -b(n-1) = d/2
=> bm = Sn/n 成等差数列