Question

微分方程 题目

书上有道例题：
dy/dx=(y+根号(x^2+y^2))/x
dy/dx=y/x+a*根号(1+(y/x)^2)
x>0时，a=1
x<0时，a=-1
u=y/x
du/根号(1+u^2)=adx/x
ln(u+根号(1+u^2))=aln|x|+C1
u+根号(1+u^2)=C2*x^a
注意到
u-根号(1+u^2)=-(u+根号(1+u^2))^(-1)=-(C2*x^a)^(-1)
两式相加,C=C2
2u=Cx-1/(Cx)
y/x=Cx/2-1/2Cx
y=Cx^2/2-C/2
我有点不明白
ln(u+根号(1+u^2))=aln|x|+C1
u+根号(1+u^2)=C2*x^a
这一步绝对值为什么可以去掉？？？
绝对值去掉之后
u+根号(1+u^2)=C2*x^a
等号左边一定是大于0的
那么等号右边
如果x小于0，C2就应该小于0
x大于0，C2就应该大于0
那么C2这个任意常数就会受到x的影响
就不属于任意常数了啊。。。
这我应该怎样理解？？？
辛苦高手指点一下，谢谢！

Answer 1

你理解有误，
ln(u+根号(1+u^2))=aln|x|+C1

等号两边同时取e指数即可得到
u+根号(1+u^2)=C2*x^a

而C2=e^C1，是大于零的

追问

那C2大于0，x也就限制一定大于0了
绝对值为什么能去？

追答

他这样算理论上应该不行。
du/根号(1+u^2)=adx/x
ln(u+根号(1+u^2))=aln|x|+C1
取e指数得到
u+根号(1+u^2)=C2*|x|^a
又有
根号(1+u^2)-u=(u+根号(1+u^2))^(-1)=(C2*|x|^a)^(-1)

两式相加得到 2*根号(1+u^2)=C2*|x|^a+(C2*|x|^a)^(-1) 令C=C2=e^C1大于0
两边平方得到u^2=(Cx/2-1/2Cx)^2
注意到
du/dx=a根号(1+u^2)/x 大于0
所以 u=Cx/2-1/2Cx 而不能取负的

从而得到y=Cx^2/2-1/2C