Question

如图1,直线Y=2X-4分别交X轴,Y轴于B,A两点.交双曲线Y=K/X(x>0)于点C,三角形AOC的面积=8

在C点右侧的双曲线上是否存在点P，使角PBC=45°？若存在，求其坐标

主要第二题，不要抄网上的，说实话那我一个也看不懂
不要用什么斜率

Answer 1

1， 解法1：
∵ y=2x-4交X、Y轴于点B、A ，
∴ B（2，0） ， A（0，-4），
设 C（a，b) ，
∵ S△AOC=8 ，
∴ 4·a /2=8 ，
∴ a=4 ；
当 x=4时 ，y=2×4-4=4 ，
∴ C（4 ，4）。
∵ y=k / x ，
∴ k=4×4=16 ，
∴ y=16/x 。

解法2：
∵ y=2x-4交X、Y轴于点B、A ，
∴ B（2，0） ， A（0，-4），
∵ y=2x-4 ，
y=k / x ，
解方程组，得：
x = [2+√(4+2k) ]/2 ，
∵ S△AOC=8 ，
∴ 4 *{ [2+√(4+2k) ]/2 } /2=8 ，
∴ k=16 ，
∴ y=16/x 。
∴ x = [2+√(4+2*16) ]/2 = 4 ，
∴ y=16/x=4 ，
∴ C（4 ，4）。

2，
在C点右侧的双曲线上存在点P，使角PBC=45° ，
设BC的倾斜角为α ，BP的倾斜角为β ，
则 tanα=4/2=2 ，β=α-45° ，
∴ tanβ
= tan(α-45°)
= (tanα-tan45°)/(1+tanα*tan45°)
= (2-1)/(1+2)
= 1/3 ，
即直线BP的斜率k=1/3 ，
又∵ B（2，0） ，
∴ 得点斜式方程：(y-0)=1/3(x-2) ，
∴ BP的直线方程是：
y=x/3-2/3 ，
又∵ y=16/x ，
解方程组，得：x=8 ，
∴ y=16/8=2 ，
∴ P点坐标（8 ，2）。

追问

不要用斜率

追答

2，
解法2：
在C点右侧的双曲线上存在点P，使角PBC=45° ，
设BC的倾斜角为α ，BP的倾斜角为β ，
则 tanα=4/2=2 ，β=α-45° ，
∴ tanβ
= tan(α-45°)
= (tanα-tan45°)/(1+tanα*tan45°)
= (2-1)/(1+2)
= 1/3 ；
设点P的横座标为 x ，
则点P的纵座标为 16/x ，
∴ (16/x)/(x-2)=1/3 ，
∴ x²-2x-48=0 ，
∴ x=8 ，
∴ y=16/8=2 ，
∴ P点坐标（8 ，2）。

追问

。。。tan这个难道不是斜率里面的吗

追答

tan是正切函数，是直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比值。
放在直角坐标系中，即 tanθ=y/x 。

(http://baike.baidu.com/view/611239.htm)

Answer 2

解：∵y=2x-4交X、Y轴于点B、A
∴B（2,0） A（0，-4）
设C（a,b)
∵S△AOC=8
∴4·a·1/2=8
a=4
当X=4时，y=2×4-4=4
∴C（4,4）
∴k=4×4=16
∴y=16/x
∵PC⊥AC
设PC解析式为y=1/2x+m
∵C（4,4）
∴4=-2+m
m=6
∴y=-1/2+6
∵P在y=16/x和y=-1/2x+6上
∴设P（n,16/n）
16/n=-n/2+6
32=-n²+12n
n²-12n+32=0
(n-4)(n-8)=0
∴n=4或n=8
又∵C（4,4）
点P在点C的右侧
∴n=8
∴P点的坐标为（8,2）
即P（8,2） 存在

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追问

为什么：∵PC⊥AC
设PC解析式为y=1/2x+m

Answer 3

【1】求双曲线的解析式；
解：∵y=2x-4交X、Y轴于点B、A
∴B（2,0） A（0，-4）
设C（a,b)
∵S△AOC=8
∴4·a·1/2=8
a=4
当X=4时，y=2×4-4=4
∴C（4,4）
∴k=4×4=16
∴y=16/x
【2】在C点右侧的双曲线上是否存在点P，使∠PBC=45°，若存在，求P点的坐标，若不存在说明理由。
解：
辅助线是在双曲线上取一点P，使PC垂直于AC
AC斜率是2 (∵Y=2X-4), ∵PC⊥AC, PC 斜率是 -1/2,(任何两垂直线斜率相乘等于-1)
设PC解析式为y=-(1/2)x+m (∵PC 斜率是 -1/2)
∵C（4,4）
∴4=-2+m
m=6
∴y=-(1/2)x+6
∵P在y=16/x和y=-(1/2)x+6
n²-12n+32=0
(n-4)(n-8)=0
∴n=4或n=8
又∵C（4,4）
点P在点C的右侧
∴n=8=x, y=16/8=2
∴P点的坐标为（8,2）
BC 长度=[(4-2)*(4-2)+4*4]^(1/2)=(20)^(1/2)
PC 长度=[(8-4)*(8-4)+(4-2)*(4-2)]^(1/2)=(20)^(1/2)
∵∠PCB=90°(∵PC⊥AC)
∵BC 长度=PC 长度

∴∠PBC=∠BPC=45°

即P（8,2)存在,使∠PBC=45°
lomiki 的证明需要同时假设∠PBC=45° 和∠PCB=90°.

Answer 4

•  

• yes?

•