Question

在RT△ABC中，已知∠C=90°，点O是边AB上的一点，以O为圆心，OB长为半径的圆与AC相切于点C，分别交BC、AB

在RT△ABC中，已知∠C=90°，点O是边AB上的一点，以O为圆心，OB长为半径的圆与AC相切于点C，分别交BC、AB于点E、F。

1） 若BC=24，圆O半径为15，求AB
2）连接OE、ED DF EF ，若四边形ADEF是平行四边形，猜想OFDE的形状，说明理由

Answer 1

⑴过O作OM⊥BC于M，

∵AC为切线，∴OD⊥AC，又∠C=90°，

∴四边形OMCD是矩形，∴CM=OD=15，∴BM=BC-CM=9，

∵RTΔOBM∽RTΔABC(公共角、直角)，

∴BM/BC=OB/AB，∴AB=24×15/9=40；

⑵四边形OFDE是菱形。

证明：∵BF为直径，∴EF⊥BC，∵OD∥BC，∴OD⊥EF，∴OD垂直平分EF，

∴OE=OF，DE=DF，EN=FN，

∵四边形ADEF是平行四边形，∴AD=EF，∴FN=1/2AD，

又FN∥AD，∴ΔOAD∽ΔOFN，∴ON/OD=FN/AD=1/2，

N为OD的中点，∴EF垂直平分OD，

∴OF=DF，

∴OE=OF=DE=DF，

∴四边形OFDE是菱形。

Answer 2

做OG垂直于BC交BC于G。

圆O半径为15，得到BG=24-15=9.

在△OGB中，GB=9，OB=15，由勾股定理得到OG=4.

△OGB与△ABC相似，易知AB=40

ADEF是平行四边形得到AB‖EF，EF⊥BC；

四边形OFDE是一个由两个等腰△组成的四边形。

请再次确认下题目是否打对。

祝学习愉快！不懂追问哦。

追问

ADEF是平行四边形得到AB‖EF，EF⊥BC；这个是怎么得到的？

 

这个图是对的。