设x=u+v,y=u^2+v^2,z=u^3+v^3,求z对x的、z对y的偏导数。
我想推广一下，即x=x(u,v).y=y(u,v),z=z(u,v),又知f(x,y,z)=0,求z对x的、z对y的偏导数。我的问题是：x和y有没有关系？以例题为例，如果...
我想推广一下，即x=x(u,v).y=y(u,v),z=z(u,v),又知f(x,y,z)=0,求z对x的、z对y的偏导数。我的问题是：x和y有没有关系？以例题为例，如果把xy看成没有关系，求出偏导数再代入x=u+v很容易得出答案，但这样做是对的吗？应该怎样解？
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追问
答案是正确。但是您的说法自相矛盾，既然x，y有关系，那求x偏导数的时候怎么能把y看成常数呢？
追答
因为x、y、z都可以用u、v来表示，所以你可以把x、y看作是一级的，是在同一个坐标系里表示z的，而u、v则低一级，是另外一个坐标系，是最基础的。
当z对x求偏导的时候，其实只涉及到x、y，不涉及u、v。如果是z对u求偏导，则就需要如下方式。
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x=u+v,
对x求偏导数： 1=∂u/∂x+∂v/∂x (1)
对y求偏导数：0=∂u/∂y+∂v/∂y (2)
y=u^2+v^2
对x求偏导数： 0=2u∂u/∂x+2v∂v/∂x (3)
对y求偏导数：1=2u∂u/∂y+2v∂v/∂y (4)
由 (1)， (3)解出∂u/∂x和∂v/∂x；由 (2)， (4)解出∂u/∂y和∂v/∂y；
z=u^3+v^3
∂z/∂x=3u^2∂u/∂x+3v^2∂v/∂x
∂z/∂y=3u^2∂u/∂y+3v^2∂v/∂y
对x求偏导数： 1=∂u/∂x+∂v/∂x (1)
对y求偏导数：0=∂u/∂y+∂v/∂y (2)
y=u^2+v^2
对x求偏导数： 0=2u∂u/∂x+2v∂v/∂x (3)
对y求偏导数：1=2u∂u/∂y+2v∂v/∂y (4)
由 (1)， (3)解出∂u/∂x和∂v/∂x；由 (2)， (4)解出∂u/∂y和∂v/∂y；
z=u^3+v^3
∂z/∂x=3u^2∂u/∂x+3v^2∂v/∂x
∂z/∂y=3u^2∂u/∂y+3v^2∂v/∂y
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