Question

已知f(x)=丨ax+1丨(a属于R),不等式f(x)≤3的解集为{x丨-2≤x≤1丨}，若丨f(x)-2f(x/2)丨≤k求k的取值范围

Answer 1

解不等式：丨ax+1丨≤3

即：-4≤ax≤2
对比它的解集：{x丨-2≤x≤1丨}
得a=2
∴f(x)=丨2x+1丨
代入：丨f(x)-2f(x/2)丨≤k即为：

| |2x+1|-2|x+1| |≤k
左式分情况去绝对值符号(有2个0点,-0.5,-1)：
(1)当x≤-1时，左式=｜-2x-1+2x+2｜＝1；
(2)当-1<x≤-0.5时，左式=｜2x+1+2x+2｜=｜4x+3｜，根据1<x≤-0.5取值范围，再去绝对值，可得：-1≤4x+3≤1，因此｜4x+3｜≤1;
(3)当x≥-0.5时，左式=｜2x+1-2x-2｜=｜-1｜=1
因此，也只要K≥1即可

Answer 2

由f(x)≤3，可得
-3≤ax+1≤3
a＝0时，不等式恒成立，不合题意
所以，a≠0
所以，-4/a≤x≤2/a
又，不等式的解集为-2≤x≤1
所以，2/a=1
解得，a=2
f(x)=|2x+1|
f(x/2)=|x+1|
|f(x)-2f(x/2)|≤k
即，||2x+1|-|2x+2||≤k
将2x看作数轴上的点
||2x+1|-|2x+2||表示数轴上的点到点-1和点-2的距离差的绝对值
作图可知，0≤这个距离差的绝对值≤1
所以，若||2x+1|-|2x+2||≤k恒成立
则，k≥1

Answer 3

如图，第2问为题目的解