Question

由微分方程求曲线方程！！

答案A 帮忙哦！

Answer 1

显然：二阶微分方程的的通解为y=(C1+C2x)e^(-x)
曲线过点(0,4),代入：C1=4，
于是：y=(4+C2x)e^(-x)
y‘=(-4-C2x+C2)e^(-x)
由题设直线x-2y+5=0即y=(1/2)(x+5)与曲线y(x)在点(0,4)的切线垂直，故曲线y(x)在点(0,4)的切线的斜率与直线x-2y+5=0的斜率乘积=-1，即：y'(0)= -2，代入求得：C2=2
于是：y=(4+2x)e^(-x) 选A

Answer 2

由题意知，y(x)在M处导数为 -1/(1/2)= -2
即有初始条件y(0)=4,y'(0)= -2
那个二阶微分方程的特征方程为r²+2r+1=0,解得r1=r2= -1
则微分方程的通解为
Y=(C1x+C2)e^(-x)
将y(0)=4代入得 C2=4
则
Y=(C1x+4)e^(-x)
求导得 Y'= (-C1x-4+C1)e^(-x)
再将y'(0)= -2代入得
-4+C1=-2
C1=2

即
Y=(2x+4)e^(-x)，即A

追问

y(x)在M处导数为 -1/(1/2)= -2这个没看懂。

为什么是-1/ （1/2） -1是怎么来的挖？呵呵。

追答

法线与切线互相垂直，如果斜率都存在，则斜率之积为-1.
切线的斜率就是导数