Question

已知数列an满足a1+3a2+3^2a3+...+3^(n-1)an=n/3(n属于N＊)

已知数列an满足a1+3a2+3^2a3+...+3^(n-1)an=n/3(n属于N＊) （1）求an的通项 （2）设bn＝n/an 求前n项和sn

Answer 1

a1＋3a2＋3²a3＋…＋3^(n－1)an=n/3
则：当n≥2时，有：
a1＋3a2＋3²a3＋…＋3^(n－2)a(n－1)=(n－1)/3
两式相减，得：
3^(n－1)an=1/3
an=1/[3^n] ，其中n≥2
当n=1时，a1=1/3，满足，则：
an=1/3^n，其中n≥1

bn=n/[an]=n×3^n
则：
Sn=1×3＋2×3²＋3×3³＋…＋n×3^n
3Sn=1×3²＋2×3³＋…＋n×3^(n＋1)
两式相减，得：
－2Sn=[3＋3²＋3³＋…＋3^n]－n×3^(n＋1)
－2Sn=[3^(n＋1)－3]/2－n×3^(n＋1)
Sn=(3/4)＋[(2n－1)/4]×3^(n＋1)