设f(x)=1/(2^x+√2)，利用等差数列， 求f（-5）+f（-4）+…f（0）+…f（5）+f（6）=？
2个回答
2013-03-27 · 知道合伙人教育行家
wangcai3882
知道合伙人教育行家
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本人擅长中学阶段数、理、化、生等理科知识，尤其是数学。高中时曾参加全国数学竞赛并获奖，期望能为你答疑
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解：
f(x) = 1/(2^x + √2）
f(1-x)
= 1/[2^(1-x) + √2） 。。。。(分子、分母同时乘以 2^x )
= 2^x/(2 + √2 * 2^x) 。。。。（分母中提取出 √2）
= (2^x/√2) * (1/√2 + 2^x)
= (2^x/√2) * f(x)
从而
f(x) + f(1-x)
= (1+ 2^x/√2) * f(x)
=[ (√2 + 2^x)/√2 ] * f(x)
= [1/√2*f(x)] * f(x)
= 1/√2
所以
f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)
= [f(-5) + f(6)] + [f(-4) + f(5)] + [f(-3) + f(4)] + [f(-2) + f(3)] + [f(-1) + f(2)] + [f(0) + f(1)]
= 6/√2
=3√2
f(x) = 1/(2^x + √2）
f(1-x)
= 1/[2^(1-x) + √2） 。。。。(分子、分母同时乘以 2^x )
= 2^x/(2 + √2 * 2^x) 。。。。（分母中提取出 √2）
= (2^x/√2) * (1/√2 + 2^x)
= (2^x/√2) * f(x)
从而
f(x) + f(1-x)
= (1+ 2^x/√2) * f(x)
=[ (√2 + 2^x)/√2 ] * f(x)
= [1/√2*f(x)] * f(x)
= 1/√2
所以
f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)
= [f(-5) + f(6)] + [f(-4) + f(5)] + [f(-3) + f(4)] + [f(-2) + f(3)] + [f(-1) + f(2)] + [f(0) + f(1)]
= 6/√2
=3√2
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f(x)=1/[2^x＋√2]
则：
f(1－x)=1/[2^(1－x)＋√2]
得：
f(x)＋f(1－x)=1/[2^x＋√2]＋1/[2^(1－x)＋√2]=√2/2
则：
f(－5)＋f(6)=f(－4)＋f(5)=f(－3)＋f(4)=f(－2)＋f(3)=f(－1)＋f(2)=f(0)＋f(1)=√2/2
设：
S=f(－5)＋f(－4)＋f(－3)＋…＋f(5)＋f(6) ---------------------------------①
则：
S=f(6)＋f(5)＋…＋f(－4)＋f(－5) -------------------------------------------②
①＋②，得：
2S=12×(√2/2)
S=3√2
则：
f(1－x)=1/[2^(1－x)＋√2]
得：
f(x)＋f(1－x)=1/[2^x＋√2]＋1/[2^(1－x)＋√2]=√2/2
则：
f(－5)＋f(6)=f(－4)＋f(5)=f(－3)＋f(4)=f(－2)＋f(3)=f(－1)＋f(2)=f(0)＋f(1)=√2/2
设：
S=f(－5)＋f(－4)＋f(－3)＋…＋f(5)＋f(6) ---------------------------------①
则：
S=f(6)＋f(5)＋…＋f(－4)＋f(－5) -------------------------------------------②
①＋②，得：
2S=12×(√2/2)
S=3√2
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