Question

如图，AB是⊙O的直径，动弦CD垂直AB于点E，过点B作直线BF∥CD交AD的延长线于点F，若AB=10cm． ． （

（2012�6�1衡阳）如图，AB是⊙O的直径，动弦CD垂直AB于点E，过点B作直线BF∥CD交AD的延长线于点F，若AB=10cm．
（1）求证：BF是⊙O的切线．
（2）若AD=8cm，求BE的长．
（3）若四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD为何种四边形？并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，BF∥CD，
∴BF⊥AB，即BF是⊙O的切线；

（2）如图1，连接BD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）；
又∵DE⊥AB
∴AD2=AE•AB；
∵AD=8cm，AB=10cm，
AE=6.4cm，
∴BE=AB-AE=3.6cm；

（3）连接BC．
四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD是正方形．理由如下：
∵四边形CBFD为平行四边形，
∴BC∥FD，即BC∥AD；
∴∠BCD=∠ADC（两直线平行，内错角相等），
∵∠BCD=∠BAD，∠CAB=∠CDB，（同弧所对的圆周角相等），
∴∠CAB+∠BAD=∠CDB+∠ADC，即∠CAD=∠BDA；
又∵∠BDA=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠CAD=∠BDA=90°，
∴CD是⊙O的直径，即点E与点O重合（或线段CD过圆心O），如图2，
在△OBC和△ODA中，
∵OC=OD∠COB=∠DOA=90°OB=OA​，
∴△OBC≌△ODA（SAS），
∴BC=DA（全等三角形的对应边相等），
∴四边形ACBD是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
∵∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），AC=AD，
∴四边形ACBD是正方形．

Answer 2

解：（1）∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，BF∥CD，
∴BF⊥AB，即BF是⊙O的切线；

（2）如图1，连接BD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）；
又∵DE⊥AB
∴AD2=AE�6�1AB；
∵AD=8cm，AB=10cm，
AE=6.4cm，
∴BE=AB-AE=3.6cm；
3）连接BC．
四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD是正方形．理由如下：
∵四边形CBFD为平行四边形，
∴BC∥FD，即BC∥AD；
∴∠BCD=∠ADC（两直线平行，内错角相等），
∵∠BCD=∠BAD，∠CAB=∠CDB，（同弧所对的圆周角相等），
∴∠CAB+∠BAD=∠CDB+∠ADC，即∠CAD=∠BDA；
又∵∠BDA=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠CAD=∠BDA=90°，
∴CD是⊙O的直径，即点E与点O重合（或线段CD过圆心O），如图2，
在△OBC和△ODA中，
∵ OC=OD∠COB=∠DOA=90°OB=OA，
∴△OBC≌△ODA（SAS），
∴BC=DA（全等三角形的对应边相等），
∴四边形ACBD是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
∵∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），AC=AD，
∴四边形ACBD是正方形．