Question

在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n 求an的通项公式和前n项和Sn

在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2^n 求an的通项公式和前n项和Sn

Answer 1

an+1=2an+2^n
两边同时除以2^n ，得到：
an+1/2^n －an/2^(n-1) = 1(常数) (n>1)
作新数列 { an/2^(n-1)}
又当n=1时 a1=1/2^(1-1)= 1满足通项
则得到数列{ an/2^(n-1)}为公差为1，首项为1的等差数列
则通项公式为：an/2^(n-1) = n
则：an=n×2^(n-1)
S(n) = 1 + 2×2^1 + 3×2^2 + 4×2^3 + …… + n×2^(n-1) ①
S(n+1) = 1 + 2×2^1 + 3×2^2 + 4×2^3 + …… + n×2^(n-1) + (n+1)×2^n
对①两边同时乘以2，得到：
2S(n) = 2 + 2×2^2 + 3×2^3 + …… + ( n-1)×2^(n-1) + n×2^n
跟S(n+1) = 1 + 2×2^1 + 3×2^2 + 4×2^3 + …… + n×2^(n-1) + (n+1)×2^n
对比着看
则：
S(n+1)-2S(n)= 1 + 2^1+ 2^2 + …… + 2^(n-1) + 2^n （等比数列求和公式）
=2^(n+1)－1
S(n+1)-2S(n) =2^(n+1)－1
则有：[S(n+1)－1] －2[S(n)-1] = 2^(n+1)
两边同时除以2^(n+1) 有：
[S(n+1)－1]/ 2^(n+1) －[S(n)-1]/2^n = 1(常数) n>1
作新数列 { [S(n)-1]/2^n}
又当n=1时 s1= 1不满足通项
则：当n>1时{ [S(n)-1]/2^n} 为等差数列
S2=5 则：[S(n)-1]/2^n = 1 + (n－2) = n－1
则：S(n) = (n－1) 2^n + 1
验证当n=1是s1=1满足通项
则：S(n) = (n－1) 2^n + 1

Answer 2

a(n+1)=2a(n)+2^n
所以
a(n+1)/2^(n+1)=a(n)/2^n+1/2
所以
{a(n)/2^n}是等差数列
a(1)/2^1=1/2，所以通项公式是a(n)/2^n=1/2+(n-1)/2=n/2
所以a(n)的通项公式是，a(n)=n/2*2^n
S(n+1)-2S(n)=1/2*(2^(n+1)+2^n+...+2^2)+1/2*2=1/2*(2^(n+2)-2)=2^(n+1)-1
左边=a(n+1)-S(n)=(n+1)/2*2^(n+1)-S(n)=2^(n+1)-1=右边
所以
S(n)=(n+1)/2*2^(n+1)-2^(n+1)+1=(n-1)/2*2(n+1)+1

Answer 3

2an-an=1-2^nan=1-2^n , (n>=2)a1=1sn=1+1-2^2+1-2^3+1-2^4+......+1-2^n =n-(2^1+2^2+2^3+......+2^n-2^1) =n-2^(n+1)+4

Answer 4

2an-an=1-2^n
an=1-2^n , (n>=2)
a1=1
sn=1+1-2^2+1-2^3+1-2^4+......+1-2^n
=n-(2^1+2^2+2^3+......+2^n-2^1)
=n-2^(n+1)+4

Answer 5

题目确定正确吗/是不是2的N+1次方？？？