Question

如图，AB平行于CD，BN,DN分别平分角ABM，角MDC，试问角M与角N之间的数量关系如何？请说明理

Answer 1

如图，AB∥CD，BN、DN分别平分∠ABM、∠MDC，试问∠BMD与∠BND之间的数量关系如何？请说明理由。

解析：过点M作直线ME∥AB，过点N作直线NF∥AB，由平行线的性质可得∠BMD=ABM+∠CDM，∠BND=∠ABN+∠CDN，再根据角平分线的性质，即可得到∠BMD和∠BND的关系．

　

解：∠BMD与∠BND之间的数量关系是：∠BMD=2∠BND．理由如下：

过点M作直线ME∥AB，过点N作直线NF∥AB，

又∵AB∥CD，

∴ME∥CD，NF∥CD（平行于同一直线的两直线互相平行），

∴∠ABM=∠BME，∠CDM=∠DME（两直线平行，内错角相等），∴∠BMD=∠BME+∠DME=∠ABM+∠CDM．

同理可得：∠BND=∠ABN+∠CDN．

∵BN，DN分别平分∠ABM，∠MDC，

∴∠ABM=2∠ABN，∠CDM=2∠CDN（角平分线定义）

∴∠BMD=2∠BND．

Answer 2

角M与角N之间的数量关系为∠M=2∠N
根据平行线的性质和角平分线的性质加以证明，证明过程如下：
证明：连接BD
∵AB∥CD
∴∠ABD+∠CDB＝180
∵∠ABD＝∠ABM+∠MBD,∠CDB＝∠CDM+∠MDB
∴∠ABM+∠MBD+∠CDM+∠MDB＝180
∴∠ABM+∠CDM＝180-（∠MBD+∠MDB）
∵∠M＝180-（∠MBD+∠MDB）
∴∠ABM+∠CDM＝∠M
∵BN平分∠ABM
∴∠NBM＝∠ABM/2
∴∠NBD＝∠NBM+∠MBD＝∠ABM/2+∠MBD
∵CN平分∠CDM
∴∠NDM＝∠CDM/2
∴∠NDB＝∠NDM+∠MDB＝∠CDM/2+∠MDB
∴∠N＝180-（∠NBD+∠NDB）
＝180-（∠ABM/2+∠MBD+∠CDM/2+∠MDB）
＝180-（∠MBD+∠MDB）-（∠ABM+∠CDM）/2
＝∠M-∠M/2
＝∠M/2
∴∠M=2∠N

Answer 3

证明：过点M作直线ME∥AB，过点N作直线NF∥AB
∵AB∥CD，
∴ME∥CD，NF∥CD，
∴∠ABM=∠BME，∠CDM=∠DME
∴∠BMD=∠BME+∠DME=∠ABM+∠CDM
同理可得：∠BND=∠ABN+∠CDN
∵BN，DN分别平分∠ABM，∠MDC，
∴∠ABM=2∠ABN，∠CDM=2∠CDN
∴∠BMD=2∠BND．

Answer 4

易证角M=角ABM+角CDM角N=角ABN+角CDN又∵BN,DN分别平分角ABM 所以角ABN=1/2角ABM 角CDM=1/2角CDN所以角N=1/2M

Answer 5

连接BD
AB‖CD 可得 ∠ABD+∠CDB=180
BN，DN分别平分∠ABM
设∠ABN=∠NBM=a ，∠CDN=∠MDN=b
∠ABD+∠CDB=180 可得
2a+∠NBD+2b+∠NDB=180 ①
在△MBD中 ∠M+∠MBD+∠MDB=180 ②
在△NBD中 ∠N+∠NBD+∠NDB=180 ③
又 ∠NBD=∠NBM+∠MBD=a+∠MBD
∠NDB=∠MDN+∠MDB=b+∠MDB
所以 ∠N+b+∠MDB+a+∠MBD=180 ④
由①②③④得 2∠M=3∠N