Question

已知,如图所示,在梯形ABCD中,AB平行CD,∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2

（1）求证：DC=BC
（2）E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论
（3）在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE的值

Answer 1

【解】（1）过A点作AH⊥DC

在RT△AHD中，

tan∠ADC=AH/HD=2

∵AH=BC=2

∴HD=AH/2=2/2=1

又AB=HC=1

∴DC=HD=HC=1+1=2 

 

∴DC=BC

(2)在△EDC和△FBC中

DC=BC

且∠EDC=∠FBC，DE=BF

∴△EDC≌△FBC 

（SAS）

∴EC=FC

且∠ECD=∠FCB

而∠BCD=90°

∴∠ECF=90°

故△ECF是等腰直角三角形

（3）∵∠CEF=45°,∠BEC=135 

°

∴∠BEF=90°

EC=2BE 

∴EF=√2EC=2√2BE 

BF=3BE 

 

在RT△BEF中

sin∠BFE=BE/BF=1/3.