Question

a1^3+a2^3+......+an^3=(a1+a2+a3+……+an)^2 求通项公式an

Answer 1

∵a1^3=a1^2
∴a1=1
a1^3+a2^3=(a1+a2)^2
1+a2^3=1+2a2+a2^2
a2^2-a2-2=0
a2=1/2-√(1+8)/2=-1 a2=1/2+√(1+8)/2=2
若a2=-1 则：a3^3=a3^2 a3=1
若a2=2 则：1+2^3+a3^3=(3+a3)^2 a3^2-a3-6=0 a3=1/2±√(1+24)/2=1/2±5/2

a3=-2 a3=3
……
an=(-1)^(n+1) 或 an=n

Answer 2

a1+a2+a3+……+an=Sn

∵Sn^2=a1^3+a2^3+…+an^3，
∴Sn-1^2=a1^3+a2^3+…+a(n-1)^3，
两式相减，得an^3=Sn^2-S(n-1)^2=（Sn-S(n-1)）)（Sn+S(n-1)）)=an（Sn+S(n-1)），
∵an＞0，∴an^2=Sn+S(n-1)（n≥2），
∴a(n-1 )^2=S(n-1)+S(n-2()n≥2)，
两式相减，得an2-an-12 =Sn-S(n-2)=an+a(n-1)，
∴an-a(n-1)=1（n＞3），
∵S1^2=a1^2=a1^3，且a1＞0，∴a1=1，
S2^2=(a1+a2)^2=a1^3+a2^3，
∴（1+a2）^2=1+a2^3，∴a2^3-a2^2-2a2=0，
由a2＞0，得a2=2，
∴an-a(n-1)=1，n≥2，
故数列{an}为等差数列，通项公式为an=n．

Answer 3

本题约束条件几乎没有，因此满足题意的数列不止一个，如果不是抄漏了条件的话，那么将所有满足你这题的数列都求出来，如下：

解：
n=1时，a1³=a1²
a1²(a1-1)=0
a1=0或a1=1
n≥2时，
a1³+a2³+...+an³=(a1+a2+...+an)² (1)
a1³+a2³+...+a(n-1)³=[a1+a2+...+a(n-1)]² (2)

(1)-(2)
an³=(a1+a2+...+an)²-[a1+a2+...+a(n-1)]²
=[a1+a2+...+a(n-1) +an]² -[a1+a2+...+a(n-1)]²
=[a1+a2+...+a(n-1)]²+2an[a1+a2+...+a(n-1)]+an²-[a1+a2+...+a(n-1)]²
=2an[a1+a2+...+a(n-1)]+an²
an[an²-2[a1+a2+...+a(n-1)]-an]=0
an=0或an²-2[a1+a2+...+a(n-1)]-an=0
an²+an-2(a1+a2+...+an)=0
an²+an-2Sn=0
Sn=(an²+an)/2
S(n-1)=[a(n-1)²+a(n-1)]/2
an=Sn-S(n-1)=(an²+an)/2 -[a(n-1)²+a(n-1)]/2
[an²-a(n-1)² ]-[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-1]=0
an=-a(n-1)或an-a(n-1)=1
an=-a(n-1)时，
a1=0时，an=0
a1=1时，an=(-1)^(n+1)
an-a(n-1)=1时，an-a(n-1)=1，为定值。
a1=0时，an=0+1×(n-1)=n-1
a1=1时，an=1+1×(n-1)=n

综上，得满足题意的数列共4个，通项公式如下：
an=0；
an=(-1)^(n+1)
an=n-1
an=n

Answer 4

可以用迭代法，归纳法！

Answer 5

an＝n