Question

在梯形ABCD中,AD//BC,∠ABC=90°,对角线AC⊥BD于P点.已知AD:AC=1:4求BD:AC的值

Answer 1

先设AD=a,AC=4a,AB=x
1.过D作辅助线DE平行于AC并与BC延长线相交于E，由于DPC为直角，DE平行AC，再根据同旁内角互补的定理可得角BPE也为直角，这样就构造出了直角三角形BDE
2.由于AD平行CE，AC平行DE。可得四边形ACED为平行四边形，那么DE就等于AC，也就等于4a
3.观察直角三角形ADB和BDE，由内错角相等可得∠BDA=∠DBE，那么两角的正切相等，进而可得AB：AD=DE：BD，将AB=x,AD=a，DE=4a,BD=√（a平方+x平方）代入左侧的比例等式中，此式子只有a和x两个字母，再经过分子分母同除以某数等变形后，可以得到一个一元二次方程，，方程的未知数为x平方/a平方，解出该方程，可以得到x平方/a平方的值为（√65-1）/2，这个值后面有用。
4.根据BD=√（a平方+x平方），AC=DE=4a,可知题目要求出的比值为√（a平方+x平方）除以4a,将这个式子恒等变形后可以得到一个关于x平方/a平方的式子，将前面解得的（√65-1）/2代入，可以得到最后的比例值为√（1+√65）/32

追问

答案是1：2阿.怎么做？

追答

之前我做的时候就觉得√（1+√65）/32不大可能是答案，因为太复杂了，计算量又大，我以前就做过类似的题，属于技巧型，不用死算，于是觉得你给的条件有问题，你说了答案后我更加这样认为了，经过倒推我认为条件应是AD：BC=1：4，而不是AD：AC，你还是再确认下有没有打错条件，如果条件真的是AD：BC=1：4，那这题就很好做了，
先设AD=a,BC=4a,AB=x
1.过D作辅助线DE平行于AC并与BC延长线相交于E，由于DPC为直角，DE平行AC，再根据同旁内角互补的定理可得角BDE也为直角，这样就构造出了直角三角形BDE
2.观察图像可知∠ABD与∠BAC相加为90度，而∠ACB与∠BAC相加为90度，那么可知∠ABD=∠ACB，在直角三角形ABD和ABC中的正切相等，可得AD：AB=AB：BC，将AD=a，BC=4a代入可得AB=2a，那么tan∠ACB=2a/4a=1/2
3.由于AC平行DE,那么同位角相等可得∠ACB=∠DEB，二者正切也相等，进而可知tan∠DEB=BD/DE=1/2，由于AD平行CE，AC平行DE。可得四边形ACED为平行四边形，那么DE就等于AC，那么BD/DE=BD/AC=1/2，比例值为1：2

Answer 2

tan是什么意思