Question

fx在点x0的某一领域内有三阶连续导数,若f'x0=f''x=f'''x=0,而f''''x0不为零

问X0是否为极值点？(x0,f(x0))是否为拐点？
关键是是否为极值点，请给予详细的证明。谢谢！

Answer 1

四阶导数不为零，即三阶导函数为单调的，即三阶导函数在该点处为零，而在左侧和右侧的符号相反，所以二阶导函数在该点处为极值点，且为零，即二阶导函数在该点处左侧和右侧的符号相同，所以一阶导函数在该点附近是单调的，所以一阶导函数在该点左侧与右侧是符号相反，所以原函数在该点处取得极值。不是拐点！