Question

向老师请教一道奥数题: 请解释一下解题过程,谢谢

圣诞老人有36个同样的礼物, 分别装在8个袋子中, 已知8个袋子中礼物的个数至少为1且各不相同, 现要从中选出一些袋子, 将选出的袋子中的所有礼物平均分给8个小朋友, 恰好分完(每个小朋友至少分得一个礼物). 那么, 共有______种不同的选择.

Answer 1

第一，36个礼物装入8个袋子，每个袋子数量大于等于1且各不相同，而1+2+3+……+8=36，所以8个袋子装的数量分别为1，2，3，4，5，6，7，8；
第二，选出袋子的礼物能平均分给8个小朋友，就是礼物数是8的倍数，既为8或16或24或32。

至此，题目等同于：从1～8这8个数中，任取几个，使得取出的数之和为8的倍数。

因此，我们只须考虑1～8这8个数中，哪几个的和是8的倍数、即8、16、24、32；
并且，当处理24、32时，可以用个小技巧：总和为36是不变的，那么我们只须考虑哪些数的和等于12、4。（12+24=36；4+32=36）

下面分别讨论可能的答案：

8：
一个袋子：8；（1种）
两个袋子：1+7，2+6，3+5；（3种）
三个袋子：1+2+5，1+3+4；（2种）
合计：1+3+2= 6种

16：
三个袋子：1+7+8，2+6+8，3+5+8，3+6+7，4+5+7；（5种）
四个袋子：1+2+5+8，1+2+6+7，1+3+4+8，1+3+5+7，1+4+5+6，2+3+4+7，2+3+5+6；（7种）
五个袋子（此时可反向考虑3个数的和为36-16=20，只有5+7+8这一种）：1+2+3+4+6；（1种）
合计：5+7+1= 13种

24（反向考虑12）：
四个袋子（即4个数和为12）：4+5+7+8，（反向为：1+2+3+6），3+6+7+8，（反向为：1+2+4+5）；（2种）
五个袋子（即3个数和为12）：2+4+5+6+7，（反向为：1+3+8），2+3+5+6+8，（反向为：1+4+7），2+3+4+7+8，（反向为：1+5+6），1+4+5+6+8，（反向为：2+3+7），1+3+5+7+8，（反向为：2+4+6），1+2+6+7+8，（反向为：3+4+5）；（6种）
六个袋子（即2个数和为12）：1+2+3+5+6+7，（反向为：4+8），1+2+3+4+6+8，（反向为：5+7）；（2种）
合计：2+6+2= 10种

32（反向考虑4）：
六个袋子（即2个数和为4）：2+4+5+6+7+8，（反向为：1+3）；（1种）
七个袋子（即1个数4）：1+2+3+5+6+7+8，（反向为：4）；（1种）
合计：1+1= 2种

总计：6+13+10+2= 31（种）

用的是穷尽的笨方法，希望你能想出更好的解法。

Answer 2

首先，36个礼物装入8个袋子，每个袋子数量大于等于1且各不相同，而1+……8=36，所以8个袋子装的数量分别为1，2，3，4，5，6，7，8； 选出袋子的礼物能平均分给8个小朋友，就是礼物数是8的倍数，既为8或16或24或32
8时：一个袋子=1，两个袋子=3，三个袋子=2
16时：三个袋子=5，四个袋子=7，五个袋子=1
24时：四个袋子=2，五个袋子=6，六个袋子=1
32时：六个袋子=1，七个袋子=1
所以总计=30种

Answer 3

你好,很高兴能为你解答问题！ A B C D E F G H1 23 4 5 6 7 8有8个礼物：H,AG,BF,CE,ABE,ACD有16个礼物：11个有32个礼物有：7个 希望可以帮到你

Answer 4

这种题用插空法
就是把36个同样的礼物摆成一横
然后找来8-1=7根树枝往36个礼物之间插空
那就要在36-1个间隔当中选7个洞，让7根树枝插进去
就是C（35,7）
插完之后，就得到8份了
也就是有C（35,7）种分法
希望对你有帮助啦

Answer 5

1、由于礼物只有36个，分别装在8个袋子里，且个数至少为1，而且不同。因此这8个袋子里的的礼物数分别为：1、2、3、4、5、6、7、8。
2、由于选出的礼物数平均分给8个小朋友刚好分完，也就是要求8的倍数。因此，在这8袋中组合成8的倍数有：
1袋：8个（1种）
2袋：1+7，2+6，3+5，（3种）
3袋：1+3+4，1+2+5，1+7+8，2+6+8，3+5+8，（5种）
4袋：1+2+6+7，1+2+5+8，1+3+5+7，1+3+4+8，1+4+5+6，2+3+5+6，2+4+3+7，8+7+6+3，8+7+5+4，（9种）
5袋：扣除1+5+6，1+4+7，1+3+8，2+3+7，2+4+6，3+4+5，5+7+8，（7种）
6袋：扣除1+3，5+7，4+8，（3种）
7袋：扣除4，（1种）
8袋：不是8的倍数。
合计：1+3+5+9+7+3+1=29种。

不知道统计完没，仅供参考。