Question

关于极限存在的问题

关于以下几种说法，判断正误，如果错误，请举出反例。如果正确，也请举例说明：
1.若一极限存在，一极限不存在，其和差的极限一定不存在。
2.两极限存在，其和差的极限一定存在。
3.两极限都不存在，其和差的极限不一定存在。

（此外，把上述条件的和差的极限改为乘积的极限又是怎样的结论呢？）
谢谢。

Answer 1

1、 正确。lim an存在，lim bn不存在，则lim an+bn不存在。
反证法：若lim an+bn存在，则lim bn=lim (an+bn-an)
=lim （an+bn）-lim an 存在，矛盾。
2、正确。这是极限的四则运算。
3、正确。比如an=(-1)^n，bn=(-1)^n，则lim an与lim bn都不存在，但
lim (an-bn)存在。
对于乘积形式，
1、结论改为不一定。比如an=1/n，bn=n，
lim an=0，lim bn不存在，但lim an*bn=1存在。
2、正确。极限的四则运算。
3、正确。 an=(-1)^n，bn=(-1)^n，lim an与lim bn不存在，
但lim an*bn=1存在。