Question

已知向量a=（cosα，sinα），b=（2cosβ，2sinβ），c=（sinα+sinβ，cosα+2cosβ）（0＜α＜β） a...

已知向量a=（cosα，sinα），b=（2cosβ，2sinβ），c=（sinα+sinβ，cosα+2cosβ）（0＜α＜β） ab=1

求β-α的值
若a垂直于c，求tan2α

Answer 1

1
∵a=（cosα，sinα），b=（2cosβ，2sinβ）
a●b=1
∴2cosαcosβ+2sinαsinβ=1
∴cosαcosβ+sinαsinβ=1/2
∴cos(β-α)=1/2
0＜α＜β<π/2 (加上界）
∴β-α=π/3

2
∵a⊥c ,c=（sinα+sinβ，cosα+cosβ）（改了，不然数太复杂了）
∴cosα(sinα+sinβ)+sinα(cosα+cosβ)=0
∵β-α=π/3 ,β=π/3+α
∴sinβ=sinπ/3cosα+cosπ/3sinα=√3/2cosα+1/2sinα
cosβ=cosπ/3cosα-sinπ/3sinα=1/2cosα-√3/2sinα
∴cosα(3/2sinα+√3/2cosα)+sinα(3/2cosα-√3/2sinα)=0
∴√3/2cos²α+3sinαcosα-√3/2sin²α=0
∴√3/2cos2α+3/2sin2α=0
∴tan2α=sin2α/cos2α=-√3/3

Answer 2

ab=2cosαcosβ+2sinαsinβ=2cos(β-α)=1
cos(β-α)=1/2
β-α=π/3+kπ(k∈N)或5π/3+kπ(k∈N)
∵a⊥c
∴a·c=cosαsinα+cosαsinβ+sinαcosα+2sinαcosβ=sin2α+sin(α+β)+sinαcosβ=0

Answer 3

ab=2cosαcosβ+2sinαsinβ=2cos（β-α）=1（0＜α＜β），cos（β-α）=1/2,β-α=30°。
a⊥c，→ac=0
cosαsinα+cosαsinβ+sinαcosα+2sinαcosβ=0
2sinαcosα+cosαsinβ+2sinαcosβ=0
2sinαcosα+cosαsin（α+30）+2sinαcos（α+30）=0
2sinαcosα+cosα[sinαcos30+cosαsin30]+2sinα[cosαcos30-sinαsin30]=0
2sinαcosα+cosα[√3/2sinα+1/2cosα]+2sinα[√3/2cosα-1/2sinα]=0
2sinαcosα+√3/2cosαsinα+1/2cos²α+√3sinαcosα-sin²α=0
(2+3√3/2）cosαsinα+1/2cos²α-sin²α=0
(1+3√3/4）sin2α+1/4（1+cos2α）-1/2(1-cos2α)=0
(1+3√3/4）sin2α+3/4cos2α-1/4=0
（4+3√3）sin2α+3cos2α-1=0
利用sin2α=2tanα/(1+tan²α)，cos2α=（1-tan²α）/(1+tan²α),求出tanα，然后再用tan2α=2tanα/（1-tan²α）来求。（万能公式）
感觉你的题目条件有点不恰当，求出来太麻烦，方法就是这样。