Question

已知向量a=（cosα，sinα），b=（2cosβ，2sinβ），若实数k使 | ka+b | = | a-kb | 成立.

已知向量a=（cosα，sinα），b=（2cosβ，2sinβ），若实数k使 | ka+b | = | a-kb | 成立，求满足不等式a*b≥0的k的取值范围。

Answer 1

向量a=（cosα，sinα），b=（2cosβ，2sinβ）

∴|a|=√(cos²α+sin²α)=1
|b|=√(4cos²β+4sin²β)=2
a●b=2(cosαcosβ+sinαsinβ)=2cos(α-β)
∵| ka+b | = | a-kb |

两边平方：
k²|a|²+2ka●b+|b|²=|a|²-2ka●b+k²|b|²
∴k²+2kcos(α-β)+4=1-2kcos(α-β)+4k²
∴4kcos(α-β)=3k²-3
∴cos(α-β)=3(k²-1)/(4k)
∵cos(α-β)∈[-1,1]
∴|3(k²-1)/(4k)|≤1
9(k²-1)²≤16k²
∴9k⁴-34k²+9≤0
(17-4√13)/9≤k²≤(17+4√13)/9
即[(√13-2)/3]²≤k²≤[(√13+2)/3]²

∴-(2+√13)/3≤k≤(2-√13)/3或(√13-2)/3≤k≤(√13+2)/3

追问

谢谢老师，不过答案是这个呢。-1 <= k <= -1/3或1 <= k <= 3.。也有过程了。
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追答

∵a●b≥0 【这个条件没看到】
∴cos(α-β)≥0
∴0≤3(k²-1)/(4k)≤1
{3(k²-1)/(4k)≥0 ①
{3(k²-1)/(4k)≤1 ②
①==> [(k-1)(k+1)]/k≥0
==> -1≤k(3k²-4k-3)/(4k)≤0
==>[k-(2-√13)/3][k-(2+√13)/3]/k≤0
==> 0<k≤(2+√13)/3或k≤(2-√13)/3
取交集：
-1≤k≤(2-√13)/3或1≤k≤(2+√13)/3