Question

求均匀半圆薄板的质心？我哪里做错了？

这是我的解题思路，首先半圆关于y轴对称。质心的横坐标x=0.主要求y（纵坐标）。
我对夹角微分。

答案是 4r/3π。求解我哪里错。

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Answer 1

错在你假设你在对夹角微分的时候选取的小扇形的质心在中间。很明显你无论怎么减小夹角，总是外面的质量比靠近里面的质量大，也就是说当夹角趋于零的时候，小扇形的质心还是靠外面而不是在中间。

追问

我觉得既然对夹角微分了，那么那个扇形应该可以看成是一个长方形，及此小块物质的质心在其中心。我之所以这样认为是因为原题的答案是将半圆纵向切割成无数个小块（形似一个个长方形），而这个小块的质心却在其中心上。

追答

呵呵。不可以哦，你犯了这个错误是因为没有真正理解微积分以及无穷小量的意义。分成答案中的矩形那是合理的，因为当dx趋于零的时候，那块不规则的面积与矩形面积之差也会逐渐趋于零，也就是说这个面积差相对于整块矩形面积来说是个无穷小量，因此当无限分割的时候，多出来的那块质量可忽略。
你那个实际上如果作为三角形处理是可以的，但是长方形是绝对不行的。因为三角形与扇形之差你也可以证明是个无穷小量。但是长方形和扇形在面积上是有倍数关系的，也就是说在无限分割的时侯扇形不趋于长方形，外面的始终质量要比里面大。

追问

老师你太给力了，莫怪学生讨厌。最后一个问题，请教你。按照你的说法，把扇形当作三角形处理。找到三角形的质心，及是三角形对称线的2/3处，其方程是否是这样

。如果是，这方程怎么求解啊？！大一的学生，积分的确没学好。请老师解惑。还有就是私聊给个qq号，交个朋友，呵呵。忘老师不要嫌弃！O(∩_∩)O~

追答

我不是老师，你才是老师，你全家都是老师！
你那方程写错了啊，积分号里面就是2/3*dm*R*sin(theta)，化简以后没有你那个“cosd(theta)”，你可能是推导的时候没注意到当dtheta很小的时候，其余弦就是1.

追问

对，就是，cos()为一。求qq,交朋友

Answer 2

你的dm扇形微元的质心位置不对，你画一个扇形求求看，绝对不是在R/2的地方。

追问

我觉得既然对夹角微分了，那么那个扇形应该可以看成是一个长方形，及此小块物质的质心在其中心。我之所以这样认为是因为原题的答案是将半圆纵向切割成无数个小块（形似一个个长方形），而这个小块的质心却在其中心上。

追答

长方形小块的中心当然在中心上，那是因为你如果拿出一个非微元情况下的长方形质心在其中心。
尔而非微元情况下扇形的质心不在中心，所以其微元质心也不再质心。