Question

求数列1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，……的通项公式，并求其前n项和。

Answer 1

这是在网上找的，希望可以帮到你~记该数列为{a_n}，则an是一个和式，把它的各项看作另一个数列{b_k}的项{b_k}是有n项的等差数列观察各组首项的规律：1，3，7，13，…用逐差法不难得首项通项为：n^2-n+1所以，an= (n^2-n+1)+( n^2-n+3)+…+[n^2-n+(2n-1)]=n^3所以，Sn即是求1到n的立方和求1到n的立方和，下面是网上载的推导过程以及推导结果：n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)

1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=(1+2+3+4...+n)^2 =[n(n+1)/2]^2

Answer 2

经过观察得到第n项的第一个数是2n-1，且第n项一共有n个数
所以第n项是2n-1，2n+1，……2n-1+2（n-1）
根据等差数列求和得到An=（3n-2）n=3n^2-2n
而1+4+9+……+n^2=n（n+1）（2n+1）/6
所以Sn=n（n+1）（2n+1）/2-n（n+1）

Answer 3

答：
a1=1=1²
a2=3+5=8=2³
a3=7+9+11=27=3³
则an可以看作n个奇数的和，其中第一个奇数为2×(前面所有奇数个数和)+1，
即为2×(1+(n-1))×(n-1)/2+1=n²-n+1
则an=n(n²-n)+1+3+5+…+2n-1=n(n²-n)+(1+2n-1)n/2=n³-n²+n²=n³
前n项和记为Sn
Sn=a1+a2+…+an
=1+3+5+…+(n²-n+1)+(n²-n+3)+…+(n²-n+2n-1)
=[(1+n²-n+2n-1)×(1+n)n/2]/2
=(n²+n)(n²+n)/4
=n²(n+1)²/4

Answer 4

数列1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，……的第n项的第一个和数=n(n-1)+1=n²-n+1
通项公式
an=n(n²-n+1)+n(n-1)*2/2
=n³-n²+n+n²-n
=n³
数列1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，……的前n项和
Sn=1³+2³+3³+.....+n³
=[n(n+1)/2]²
=(n^4+2n³+n²)/4

Answer 5

分析 记该数列为{a_n}，则an是一个和式，把其各项看作数列{b_k}的项，我们的必须搞清楚：它是什么数列、有多少项、首项（或末项）是什么？前两者较容易,即{b_k}是有n项的等差数列,最关键是后者.　 观察各组首项的规律：1，3，7，13，…用逐差法不难得首项通项为：n*n-n+1 (*表示乘)