Question

已知锐角三角形ABC中的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,定义向量m=(2sinB,√3),n=

已知锐角三角形ABC中的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,定义向量m=(2sinB,√3),n=(2cos²B/2-1,cos2B),且m⊥n.
(1)求f(x)=sin2xcosB-cos2xsinB的单调减区间；
（2）如果b=4,求三角形ABC面积的最大值。

Answer 1

(1)∵向量m＝（2sinB，√3）、向量n＝（2［cos（B/2）］^2－1,cos2B）
向量m垂直于向量n，
∴2sinB｛2［cos（B/2）］^2－1｝＋√3cos2B＝0，　
∴2sinBcosB＋√3cos2B＝0，
∴sin2B＋√3cos2B＝0，　
∴（1/2）sin2B＋（√3/2）cos2B＝0，
∴sin30°sin2B＋cos30°cos2B＝0，　
∴cos（2B－30°）＝0。

∵B为锐角，∴0°＜B＜90°，∴0°＜2B＜180°，∴－30°＜2B－30°＜150°，
∴由cos（2B－30°）＝0，得：2B－30°＝90°，　∴2B＝120°，　∴B＝60°。

f(x)=sin(2x-B)=sin(2x-Pai/3)

单调减区间是2kPai+Pai/2<=2x-Pai/3<=2kPai+3Pai/2
即有[kPai+5Pai/12,kPai+11Pai/12]
(2)第二个问题：
∵B＝60°，　∴sinB＝√3/2、cosB＝1/2。
由余弦定理，有：b^2＝a^2＋c^2－2accosB，∴16＝a^2＋c^2－ac≧2ac－ac＝ac，
∴△ABC的面积＝（1/2）acsinB≦（1/2）×16×（√3/2）＝4√3。
∴满足条件的△ABC的面积最大值是4√3。

追问

谢谢你的回答，就是第2问是从哪里开始的？

追答

(2)第二个问题：
∵B＝60°，　∴sinB＝√3/2、cosB＝1/2。
由余弦定理，有：b^2＝a^2＋c^2－2accosB，∴16＝a^2＋c^2－ac≧2ac－ac＝ac，
∴△ABC的面积＝（1/2）acsinB≦（1/2）×16×（√3/2）＝4√3。
∴满足条件的△ABC的面积最大值是4√3。

Answer 2

区间［2k＃＋5#/6，2k#＋11#/6］

最大值当ac=16最大值为4√3