Question

已知函数f(x)=(x-1)^2，g(x)=4(x-1),数列{an}是各项不为0的等差数列，其前n

上接标题
项和为Sn,点(an +1,S<2n-1>)在f(x)图像上，数列{bn}满足b1=2,bn不=1,且(bn-b<n-1>)*g(bn)=f(bn)，求an并证明数列{bn -1}是等比数列。
有事加我QQ1004901265

Answer 1

解答过程见图片  但是图片粘贴不删啊

已经QQ离线你了

Answer 2

（I）解：因为点（an+1，S2n-1）在函数f（x）的图象上，所以an2=S2n-1，
令n=1，n=2，可得a12=S1，a22=S3，
∴a12＝a1，(a1+d)2＝3a1+3d
∴a1=1，d=2（d=-1舍去）
∴an=2n-1；
∵(bn−bn+1)•g(bn)＝f(
b

n

)(n∈N*)
∴4(bn−bn+1)•(bn−1)＝(bn−1)2(n∈N*)
∴
bn+1−1
bn−1
=
3
4

∴数列{bn-1}是以1为首项，
3
4
为公比的等比数列；
（II）证明：由上知bn-1=(
3
4
)n−1
∴cn＝
an
4n−1•(bn−1)
=
2n−1
3n−1

令Tn=c1+c2+c3+…+cn，
则Tn=
1
30
+
3
31
+…+
2n−1
3n−1
①
∴
1
3
Tn=
1
31
+
3
32
+…+
2n−3
3n−1
+
2n−1
3n
②
①-②得
2
3
Tn=
1
30
+
2
31
+
2
32
+…+
2
3n−1
−
2n−1
3n
2-2(n+1) 3n
∴Tn=3-n+1
3n−1 ＜3
即c1+c2+c3+…+cn＜3．

Answer 3

（I）由题意点（an+1，S2n-1）在函数f（x）的图象上，所以an2=S2n-1，再令n=1，2求得首项和公差，从而得出通项公式an，利用(bn-bn+1)•g(bn)=f(
b

n
)(n∈N*)，化简即可证明数列{bn-1}是等比数列；
（II）由（I）得数列{bn-1}的通项，从而可得数列{cn}的通项，用错位相减法求出它的值，即可得到答案．
解答：（I）解：因为点（an+1，S2n-1）在函数f（x）的图象上，所以an2=S2n-1，
令n=1，n=2，可得a12=S1，a22=S3，
∴a12=a1，(a1+d)2=3a1+3d
∴a1=1，d=2（d=-1舍去）
∴an=2n-1；
∵(bn-bn+1)•g(bn)=f(
b

n
)(n∈N*)
∴4(bn-bn+1)•(bn-1)=(bn-1)2(n∈N*)
∴
bn+1-1
bn-1
=
3
4

∴数列{bn-1}是以1为首项，
3
4
为公比的等比数列；
（II）证明：由上知bn-1=(
3
4
)n-1
∴cn=
an
4n-1•(bn-1)
=
2n-1
3n-1

令Tn=c1+c2+c3+…+cn，
则Tn=
1
30
+
3
31
+…+
2n-1
3n-1
①
∴
1
3
Tn=
1
31
+
3
32
+…+
2n-3
3n-1
+
2n-1
3n
②
①-②得
2
3
Tn=
1
30
+
2
31
+
2
32
+…+
2
3n-1
-
2n-1
3n
2-
2(n+1)
3n

∴Tn=3-
n+1
3n-1
＜3
即c1+c2+c3+…+cn＜3．

Answer 4

有点乱，应该是求bn吧？
解：∵[b(n+1)-bn]g(bn)+f(bn)=0
f(bn)=(bn-1)�0�5, g(bn)=4(bn-1)
∴4[b(n+1)-bn](bn-1)+(bn-1)�0�5=0
�6�0 [4b(n+1)-3bn-1](bn-1)=0
∴b(n+1)=(3/4)bn+1/4, n∈N*

b(n+1)-1=(3/4)(bn-1)
[b(n+1)-1]/(bn-1)=3/4
∴n≥2, n∈N时, bn-1=(3/4)^(n-1)
由b1-1=1满足上式
故bn-1=(3/4)^(n-1), n∈N*
等比数列！