Question

数分用定义证明二重极限

当（x，y）→（1，1）时，x的平方 + y的平方 → 2

Answer 1

任取ε>0，取δ=min{1，ε/6}，（注意：此时既有δ≤1，又有δ≤ε/6）
当0<√[(x-1)²+(y-1)²]<δ时，此时有
|x+1|=|x-1+2|≤|x-1|+2<δ+2≤3
同理：|y+1|<3
因此：
|x²+y²-2|
≤|x²-1|+|y²-1|
=|x-1|·|x+1|+|y-1|·|y+1|
<3|x-1| + 3|y-1|
<3δ+3δ
=6δ
≤ε
因此lim[x→1，y→1] (x²+y²) = 2

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