Question

数列{an}中,有a1=1,a（n+1）=1/3Sn（n∈N*），求：

（1）数列{an}的通项公式；
（2）a2+a4+a6+……+a2n的值。

Answer 1

解：
(1)
n≥2时，a(n+1)=(1/3)Sn
Sn=3a(n+1)
S(n-1)=3an
Sn-S(n-1)=an=3a(n+1)-3an
3a(n+1)=4an
a(n+1)=(4/3)an
a1=1，数列{an}是以1为首项，4/3为公比的等比数列。
an=1×(4/3)^(n-1)=(4/3)^(n-1)
数列{an}的通项公式为an=(4/3)^(n-1)
(2)
a2=a1×(4/3)=1×4/3=4/3
a(n+2)/an=(4/3)^(n+2-1)/[(4/3)^(n-1)]=16/9，为定值。
数列{a(2n)}是以4/3为首项，16/9为公比的等比数列。
a2+a4+a6+...+a(2n)
=(4/3)×[(16/9)ⁿ-1]/(16/9 -1)
=(12/7)(16/9)ⁿ - 12/7

Answer 2

a1=1,a（n+1）=1/3Sn
A(n+1)=1/3Sn
An=1/3S(n-1) n>=2
相减：
A(n+1)-An=1/3(Sn-S(n-1))=1/3An
A(n+1)=4/3An
A(n+1)/An=4/3 {An}是以A2为首，4/3为公比的等比数列。
所以：An=A2*(4/3)^(n-2) n>=2

由于A1=1 A2=1/3S1=1/3
An=1/3*(4/3)^(n-2) n>=2
综合得：
1 n=1
An=
1/3*(4/3)^(n-2) n>=2

a2+a4+a6+……+a2n
=1/3+1/3(4/3)^2+1/3*(4/3)^4+...+1/3*(4/3)^(2n-2)
=1/3*(1+(4/3)^2+(4/3)^4+...+(4/3)^(2n-2))
=1/3[(1-(4/3)^2n)/(1-(4/3)^2)
=1/3[(16/9)^n-1]/(7/9)
=3/7[(16/9)^n-1]

Answer 3

a1=1,
S1=a1=1
根据a（n+1）=1/3Sn（n∈N*），
a2=1/3S1=1/3
a3=1/3s2=1/3(a1+a2)=1/4