Question

如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1=2

若棱AA1上存在一点P，使得AP=λPA1，当二面角A-B1C1-P的大小为30°时，求实数λ的值．

Answer 1

连db1，A1D⊥平面ABCD，所以b1c⊥平面A1B1C1D1，ABCD是,正方形，∴B1C1⊥平面A1B1CD
在A1D上取点P1，使DP1=λP1A1，则∠DB1P1为二面角A-B1C1-P=30°
ABCD边长为1，AA1=2，A1D⊥平面ABCD， ∴A1D=√3， ∴B1D=2， ∠DB1C=30°，

∴∠A1B1P1=90°-∠DB1C-∠DB1P1=30°，∴P1A1=A1B1*tan30°=√3/3，
AP=λPA1，λ=AP/PA1=DP1/P1A1=（A1D-P1A1）/P1A1=（√3-√3/3）/（√3/3）=2

实数λ的值=2