证明等差数列，等比数列前n项和的公式
推荐于2017-09-21 · 知道合伙人教育行家
wangcai3882
知道合伙人教育行家
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本人擅长中学阶段数、理、化、生等理科知识，尤其是数学。高中时曾参加全国数学竞赛并获奖，期望能为你答疑
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下面用数学归纳法证明Sn=na1+n(n-1)d/2和Sn=[a1(1-qⁿ)]/(1-q)
（一）等差数列前n项和公式Sn=na1+n(n-1)d/2证明：
(1)n=1,S1=a1，成立
(2)设Sk=ka1+k(k-1)d/2,则
S(k+1)=Sk+a(k+1)
=ka1+k(k-1)d/2+a1+kd
=(k+1)a1+(k+1)kd/2
所以n=k+1也成立。
所以等差数列前n项和公式为Sn=na1+n(n-1)d/2。
（二）等比数列前n项和公式Sn=[a1(1-qⁿ)]/(1-q)证明：
(1)n=1,S1=a1成立
(2)设Sk=[a1(1-q^k)]/(1-q)。
S(k+1)=Sk+a(k+1)
=a1(1-q^k)/(1-q)+a1q^k
=[a1/(1-q)][1-q^k+q^k-q^(k+1)]
=a1[1-q^(k+1)]/(1-q)
所以n=k+1时公式仍成立。
所以等比数列前n项和公式Sn=[a1(1-qⁿ)]/(1-q)。
（一）等差数列前n项和公式Sn=na1+n(n-1)d/2证明：
(1)n=1,S1=a1，成立
(2)设Sk=ka1+k(k-1)d/2,则
S(k+1)=Sk+a(k+1)
=ka1+k(k-1)d/2+a1+kd
=(k+1)a1+(k+1)kd/2
所以n=k+1也成立。
所以等差数列前n项和公式为Sn=na1+n(n-1)d/2。
（二）等比数列前n项和公式Sn=[a1(1-qⁿ)]/(1-q)证明：
(1)n=1,S1=a1成立
(2)设Sk=[a1(1-q^k)]/(1-q)。
S(k+1)=Sk+a(k+1)
=a1(1-q^k)/(1-q)+a1q^k
=[a1/(1-q)][1-q^k+q^k-q^(k+1)]
=a1[1-q^(k+1)]/(1-q)
所以n=k+1时公式仍成立。
所以等比数列前n项和公式Sn=[a1(1-qⁿ)]/(1-q)。
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