Question

已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为三分之根号6，短轴一个端点到右焦点的距离为根号三

。(1)求椭圆C的方程(2)设直线l与椭圆c交于A,B两点，坐标原点O到直线l的距离为二分之根号三，求三角形AOB的最大值 ，，，，，，，，，，，，，急求啊急求，！！！！！！！！！！！！！

Answer 1

答：
(1)短轴一个端点到右焦点距离为√3，即a=√3，因为√3=√(b²+c²)=a
所以e=c/a=√6/3，所以c=√2
所以b²=a²-c²=1
所以方程为：x²/3+y²=1
(2)两种情况分类讨论
①当直线l斜率不存在时，l方程为乎贺卖：x=±√3/2，此时代入椭圆方程得：y=±√3/2
所以|AB|=√3，S△=3/4
②当斜率存在时，l方程为y=kx+b，O到直线距离d=|b|/√(1+k²)=√3/2.
所以b=±3(1+k²)/4，由椭圆对称性现在只讨论b>0情况，即b=√(3+3k²)/2.
y=kx+√(3+3k²)/2与x²/3+y²=1联立整理得：
(1+3k²)x²+6k√(3+3k²)x+(3k²-3)/4=0
x1+x2=-6k√(3+3k²)/(1+3k²)，x1x2=(3k²-3)/(4+12k²)
|AB|=|x1-x2|√(1+k²)=√[(x1+x2)²-4x1x2]√(1+k²)
运算得
|AB|=√(99k^4+114k²+3)/(1+3k²)
令k²=t则|AB|=f(t)=√3√(33t²+38t+1)/(1+3t)，f'(t)=0时解得t=2/3，此时f(t)为极大值。
此时k²=2/3，|AB|=√123/拍枯3，S=√41/4>3/4
所以S△AOB最大值岁逗为√41/4。

Answer 2

（1）因为，短轴端点到焦点距离为根号三，所以a=根号三，离心率为三分之根号6，e=c/a，所以，
c=根号2这样，得到b=1，因此，椭圆方程为x�0�5/3+y�0�5=1.

（2）设直线方程为y=kx+b，即kx-y+b=0 到原点距离为b/根号（k�0�5+1）=二分之根号三掘明，得到4b�0�5=3k�0�5+3
直线与椭圆交于A,B两点。连立方程组。y=kx+b，y�0�5=1-x�0�5/3，得到1-x�0�5/3=k�0�5x平明滑方+2kbx+b�0�5
（3k�0�5+1）x�0�5+6kbx+3（b�0�5-1）=0 三角形面积，即是直线与y轴交点到原点的长度，与AB两点横坐标之差长度的乘积的一半。直线与y轴交点到原点的长度=b，AB横坐标之差为（x1-x2）的绝对值。就是根号
（（x1+x2）�0�5-4x1x2）
x1+x2=-6kb/（3k�0�5+1）
x1x2=3（b�0�5-1）/（3k�0�5+1），
算得（x1-x2）=根号（（18k^4+27k平方+1）/（3k�0�5+1）�0�5）
三角形面积就是b（x1-x2）/2=上式乘上根号（（3k平方+3）/4).
整体思路就是这样，计算太麻烦就不下下去了。算出式子用不等式得到最大值。因为手边没判槐告草稿纸，不知道过程有没有算错，所以请楼主自己从头按此思路自己算下。

Answer 3

解：原椭圆方程为：y=x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)，则该椭圆长轴在X轴上。b²+c²=a²，e=c/a=√6/3。设短轴的一个端点为H(0，b)，右焦点为F2(c,0)，则：|HF2|=√[(0-c²)+(b-0)²]=√(b²+c²)=√派迟者3(两点间的距离)，则：b²+c²旦尘=3①，e=c/a=√6/3②，b²+c²=a²③。尘薯a=±√3，c=±√2，b=1。原椭圆方程为：x²/3+y²=1，设直线L交椭圆C于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，则直线的两点式方程为：(y-y1)/(x-x1)=(y1-y2)/(x1-x2)