Question

已知：sinA+sinB+sinC=0　cosA+cosB+cosC=0 计算下式： sin²A+sin²B+sin²C

Answer 1

与这道题是一样的，请参考：

从而

 sin²A+sin²B+sin²C=3-（ cos²A+cos²B+cos²C）=3-3/2=3/2

 

参考答案来源：http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/7fb88623-c8a9-4aa7-b555-b62f9c6547a4

追问

倒数第二步：2cos(α+β）跑哪里去了？

追答

③式cos（α-β）=-1/2，这里－在图片显示不是很清楚，
=3/2+2cos（α+β）cos（α-β）+cos（α+β），将③代入
=3/2+2cos（α+β)(-1/2)+cos（α+β）
=3/2-cos（α+β)+cos（α+β）
=3/2

Answer 2

两式变形sinA+sinB=-sinC，cosA+cosB=-cosC，
两式平方：
（sinA+sinB）2=sin2C，。。。。。（1）

（cosA+cosB）2=cos2C，。。。。（2）

两式相加化简得cos（A-B）=-1/2
两式相减化简得，cos2C=cos2A+cos2B+2cos（A+B），

sin²A+sin²B+sin²C
=3-（cos2A+cos2B+cos2C）
=3-（1+cos2A）/2-（1+cos2B）/2-（1+cos2C）/2
=3/2-（cos2A+cos2B+2cosC）/2，
=。。。
=3/2
故A+sin²B+sin²C值为3/2

追问

cos2A+cos2B+2cosC应为cos2A+cos2B+cos2C吧？
cos2A+cos2B+cos2C等于0的？

Answer 3

sinA+sinB+sinC=0
cosA+cosB+cosC=0
sinA+sinB=-sinC
cosA+cosB=-cosC
平方得
（sinA+sinB）^2=(sinC)^2 (1)
（cosA+cosB）^2=(cosC)^2 (2)
两式相加得
1+2sinAsinB+2cosAcosB+1=1
所以
2sinAsinB+2cosAcosB=-1
cos(A-B)=-1/2
(2)-(1)

(cosC)^2-(sinC)^2=（cosA+cosB）^2-（sinA+sinB）^2

cos2C=cos2A+cos2B+2cos(A+B)

sin²A+sin²B+sin²C
=3-（ cos²A+cos²B+cos²C）
=3-3/2=3/2

追问

cos²A+cos²B+cos²C为何为3/2？

追答

cos²A+cos²B+cos²C

=（1+cos2A）/2+（1+cos2B）/2+（1+cos2C）/2
=3/2+(cos2A+cos2B+cos2C）/2
=3/2+cos2A+cos2B+cos(A+B)
=3/2+cos((A+B)+(A-B))+cos((A+B)-(A-B))+cos(A+B)
=3/2+2cos(A+B)cos(A-B)+cos(A+B)
=3/2

追问

可否用cos(A-B)=-1/2
得出A-B＝±120°，算得A-B=B-C=C-A=±120°？
直接计算sin²A+sin²B+sin²C＝3/2