Question

一道高中数学向量题，求详细过程

Answer 1

既然是Rt△就应该满足 垂直关系和勾股定理。
首先确定三角形的直角顶点，BC=i+(k-1)j
a、直角顶点为A，则AB⊥AC，以及勾股定理
1、AB⊥AC
(2i+j)*(3i+kj)=0
所以6+k=0
2、勾股定理 BC=√(AB²+BC²)
显然有k=-6

b、直角顶点为B，则AB⊥BC，以及勾股定理
1、AB⊥BC，
(2, 1)*(1, k-1)=0
所以k=-1
2、勾股定理 AC=√(AB²+BC²)
显然有k=-1

c、直角顶点为C，则AC⊥BC，以及勾股定理
1、AC⊥BC，
(3, K)*(1, k-1)=0
所以k无解
2、勾股定理 AC=√(AB²+BC²)
显然有k无解

因此k有两种情况 -6 或者 -1

Answer 2

k的可能值有两个
由题设可知向量BC=i+(k-1)·j ，分成三种情况考虑：
1.AB垂直AC，此时向量AB×向量AC=0 ，解得k=-6
2.AB垂直BC，同理解得k=-1
3.AC垂直BC，此时可得到一个关于K的二次方程：K²-k+3=0 ，该方程无实数解
综上，k可能取值为两个，为-6或-1

Answer 3

解：由已知得：向量BC = AC - AB = 3i+kj - (2i+j) = i +(k-1)j
因为三角形ABC为直角三角形，则∠A，∠B和∠C都有可能是直角。
所以总共有三种情况：
1. AB·AC = 0 即：(2i+j)·(3i+kj) = 0 解得：k = -6

2. AB·BC = 0 即：(2i+j)·(i+(k-1)j) = 0 解得：k = -1

3. AC·BC = 0即：(3i+kj)·(i+(k-1)j) = 0 无解
综上所述，k的可能值个数为2，分别为-1，-6。