Question

已知函数f（x)=x²－alnx（a＞0） （1）当a=3时，求曲线y=f(x)在点（1，f(1))处的切线方程

已知函数f（x)=x²－alnx（a＞0）
（1）当a=3时，求曲线y=f(x)在点（1，f(1))处的切线方程
(2)讨论函数f（x）在区间（1，e的a次方）上零点的个数（e为自然对数的底数）

Answer 1

【绝对正确】
解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=x2-3lnx，
∴f'（x）=2x-3x（1分）
∴fˊ（1）=-1
又∵f（1）=1，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-1=-（x-1）．
即x+y-2=0．--------------------------------3分
（Ⅱ）（1）下面先证明：ea＞a（a≥0）．
设g（a）=ea-a（a≥0），则g′（a）=ea-1≥e0-1=0（a≥0），且仅当g′（a）=0⇔a=0，
所以g（a）在[0，+∞）上是增函数，故g（a）≥g（0）=1＞0．
所以ea-a＞0，即ea＞a（a≥0）．------------------------------5分
（2）因为f（x）=x2-a lnx，
所以f′（x）=2x-ax=2x2-ax=2(x-
2a2)(x+
2a2) x．
因为当0＜x＜2a2时，fˊ（x）＜0，当x＞2a2时，1，fˊ（x）＞0．
又a2＜a＜ea＜e2a（a≥0，a＜2a）⇒2a2＜ea，
所以f（x）在（0，2a2]上是减函数，在[2a2，+∞）是增函数．
所以f（x）min=f（2a2）=a2(1-ln
a2)．------------------------------9分
（3）下面讨论函数f（x）的零点情况．
①当a2(1-ln
a2)＞0，即0＜a＜2e时，函数f（x）在（1，ea）上无零点；
②当a2(1-ln
a2)=0，即a=2e时，2a2=e，则1＜2a2＜ea
而f（1）=1＞0，f（2a2）=0，f（ea）＞0，
∴f（x）在（1，ea）上有一个零点；
③当a2(1-ln
a2)＜0，即a＞2e时，ea＞2a2＞e＞1，
由于f（1）=1＞0，f（2a2）=a2(1-ln
a2)＜0．
f（ea）=e2a-a lnea=e2a-a2=（ea-a）（ea+a）＞0，
所以，函数f（x）在（1，ea）上有两个零点．（13分）
综上所述，f（x）在（1，ea）上有结论：
当0＜a＜2e时，函数f（x）有、无零点；
a=2e时，函数f（x）有一个零点；
当a＞2e时，函数f（x）有两个零点．------------------------------14分．

Answer 2

（1）对f(x)求导 f'(x)=2x-a/x=2x-3/x;
(2)令f'(x)=0,分析其单调性。