Question

已知：tanA+1/tanA=5/2,A∈（π/4，π/2），求cos2A和sin(2A+π/4）的值？

Answer 1

∵tanA=sinA/cosA
∴1/tanA=cosA/sinA
∴tanA+1/tanA=sinA/cosA+cosA/sinA=（sin²A+cos²A）/（sinAcosA）
=1/（1/2sin2A）------------（二倍角公式）
=2/sin2A=5/2
∴sin2A=4/5
∵A∈（π/4，π/2）
∴2A∈（π/2，π）
∴cos2A＜0
∴cos²2A=1-sin²2A
解得，cos2A=-3/5

∵sin2A=4/5
∴sin(2A+π/4）=sin2Acosπ/4+cos2Asinπ/4
=4/5×（根号2）/2-3/5（根号2）/2
=1/5×（根号2）/2
=（根号2）/10

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Answer 2

您好！
根据题意，该题目可以求解如下：
tanA+1/tanA+5/2,A∈﹙π/4,π/2)
设tanA=x,则tanA+1/tanA=5/2可转换为x+1/x=5/2,也即：
x²+1=5x/2
2x²-5x+2=0**********(2x-1)(x-2)=0
①2x-1=0******x=1/2,也即tanA=1/2,A∈﹙π/4,π/2),tanX函数是单调递增函数，tanπ/4=1，

tanA＞1,tanA=1/2【不合题意，舍去】
②x-2=0*******x=2,也即tanA=2，A∈﹙π/4,π/2),tanX函数是单调递增函数，tanπ/4=1，tanA＞1,tanA=2【合题意】

cos2A=cos²A-sin²A***cos²A=1/(1+tan²A)=1/5,又∈﹙π/4,π/2)，则2A∈（π/2，π），
cos2A＜0,sin2A＞0，所以cosA=-√5/5,sinA=2√5/5
cos2A=cos²A-sin²A=(-√5/5)²-(2√5/5)²=-15/20=-3/5
sin2A=√(1-cos²2A)=√(1-9/25)=4/5
sin(2A+π/4)=sin2Acosπ/4+cos2Asinπ/4=√2/2(sin2A+cos2A)=√2/2(4/5-3/5)=√2/10

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