Question

急求高手解答。。。求下列函数的反函数。。。。采纳有奖

要过程，没过程就不用写了。。。。。求下列函数的反函数：
①、y=2sin3x (﹣派／6≤x≤派／6)
②、y=1+㏑(x+2)
③、y=2的X次方／（2的X次方+1)
求：设f(x)的定义域D=[0，1]，求f(x+a)+f(x-a) （a>0）的定义域。
（这题的答案是当0<a≤½时，x∈[a,1－a]；
当a＞½时，定义域为空集）

Answer 1

y=1/(x²-1)

(x²-1)=1/y

x²=1+1/y

x=±√(1+1/y)

由于x<-1，故原函数的反函数为x=-√(1+1/y)

一般来说

设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f-1(y) 。反函数x=f-1(y)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。

Answer 2

求下列函数的反函数：

①、y=2sin3x；定义域： -π/6≤x≤π/6；值域：-2≤y≤2；

解：sin3x=y/2，3x=arcsin(y/2)，x=(1/3)arcsin(y/2)；
交换x，y，即得反函数y=(1/3)arcsin(x/2)；定义域：-2≤x≤2；值域：-π/6≤y≤π/6；
②、y=1+㏑(x+2)；定义域：x>-2；值域：-∞<y<+∞；

解：ln(x+2)=y-1，x+2=e^(y-1)，x=e^(y-1)-2；交换x，y即得反函数y=e^(x-1)-2；
定义域：-∞<x<+∞；值域：y>-2.
③、y=(2^X)/[(2^X)+1]；定义域：-∞<x<+∞；值域：0<y<1；

解：[(2^x)+1]y=2^x；(1-y)e^x=y，e^x=y/(1-y)，x=ln[y/(1-y)]；
交换x，y即得反函数y=ln[x/(1-x)]；定义域：0<x<1；值域：-∞<y<+∞；
④、设f(x)的定义域D=[0，1]，求f(x+a)+f(x-a) （a>0）的定义域

解：f(x)的定义域是[0，1]，求f(x+a)+f(x-a)的定义域要解不等式组：
0≦x+a≦1.......(1)；0≦x-a≦1........(2)
由(1)得-a≦x≦1-a........(3)；由(2)得a≦x≦1+a.........(4)
那么函数f(x+a)+f(x-a)的定义域时(3)和(4)的交集。
注意a>0；当a=0时(3)和(4)是同一个不等式，因此定义域没变，还是[0，1]；
当a=1/2时，(3)的解为-1/2≦x≦1/2；(4)的解为1/2≦x≦3/2，那么(3)∩(4)={1/2}；
故当0<a≦1/2时f(x+a)+f(x-a)的定义域为：[a，1-a]；
当a>1/2时，为了好说明问题，举个特例，比如a=0.6，那么(3)的解是-0.6≦x≦0.4；
(4)的解是0.6≦x≦1.6，显然，此时(3)∩(4)=φ.
故当a>1/2时f(x+a)+f(x-a)的定义域是空集。

追问

有几个疑问，希望您能回答我哦~~~
③、由[(2^x)+1]y=2^x→(1-y)e^x=y，是采用两边自然对数得来的吗？还是怎样。。。。答案是y=㏒2(2为底)[x／﹙1－x﹚]
④、为什么先考虑a=1/2为中间点呢？我任取一个数字，可以吗？还是说一定要1/2呢？？？

追答

③、【对不起！是我粗心写错了，因为我习惯用自然对数。】

由[(2^x)+1]y=2^x；(1-y)2^x=y；2^x=y/(1-y)；故x=log₂[y/(1-y)]；
交换x，y，即得反函数y=log₂[x/(1-x)]
④、为什么先考虑a=1/2为中间点呢？我任取一个数字，可以吗？还是说一
定要1/2呢？？？

答：一定要用1/2；这是因为：
f(x+a)的定义域是-a≦x≦1-a；f(x-a)的定义域是a≦x≦1+a；(a>0)
你可以用几个数字计算一下，如取x=1/2，则有-1/2≦x≦1/2和1/2≦x≦3/2，
它们的交集是一个点x=1/2；再取x=0.4，则有-0.4≦x≦0.6和0.4≦x≦1.4，
交集为[0.4，0。6]；再取x=0.51，则有-0.51≦x≦0.49和0.51≦x≦1.51，
其交集是空集。故要使其交集不空，只能取0<a≦1/2.
你也可以在数轴上画一画。