Question

将一张矩形纸片沿对角线AC剪开，得到两张三角形纸片，其中角ACB=a

将一张矩形纸片（如图1）沿对角线AC剪开，得到两张三角形纸片（如图2），其中∠ACB=a，然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放，△EFD纸片的直角顶点D落在△ACB纸片的斜边AC上，直角边DF落在AC所在的直线上。 （1）若ED与BC相交于点G，取AG的中点M，连接MB、MD，当△EFD纸片沿CA方向平移时（如图3），请你观察、测量MB、MD的长度，猜想并写出MB与AD的数量关系，然后证明你的猜想； （2）在（1）的条件下，求出∠BMD的大小（用含a的式子表示），并说明当a=45°时，△BMD是什么三角形？

Answer 1

解：（1）MB=MD，
证明：∵AG的中点为M∴在Rt△ABG中，MB= 12AG
在Rt△ADG中，MD= 12AG
∴MB=MD．

（2）∵∠BMG=∠BAM+∠ABM=2∠BAM，
同理∠DMG=∠DAM+∠ADM=2∠DAM，
∴∠BMD=2∠BAM+2∠DAM=2∠BAC，
而∠BAC=90°-α，
∴∠BMD=180°-2α，
∴当α=45°时，∠BMD=90°，此时△BMD为等腰直角三角形

Answer 2

：（1）MB=MD，
证明：∵AG的中点为M∴在Rt△ABG中，MB= 12AG
在Rt△ADG中，MD= 12AG
∴MB=MD．

（2）∵∠BMG=∠BAM+∠ABM=2∠BAM，
同理∠DMG=∠DAM+∠ADM=2∠DAM，
∴∠BMD=2∠BAM+2∠DAM=2∠BAC，
而∠BAC=90°-α，
∴∠BMD=180°-2α，
∴当α=45°时，∠BMD=90°，此时△BMD为等腰直角三角形

Answer 3

解：（1）MB=MD，
证明：∵AG的中点为M，
∴在Rt△ABG中，MB=12AG，
在Rt△ADG中，MD=12AG，
∴MB=MD．

（2）∵∠BMG=∠BAM+∠ABM=2∠BAM，
同理∠DMG=∠DAM+∠ADM=2∠DAM，
∴∠BMD=2∠BAM+2∠DAM=2∠BAC，
而∠BAC=90°-α，
∴∠BMD=180°-2α，
∴当α=45°时，∠BMD=90°，此时△BMD为等腰直角三角形