Question

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点
求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）直线A1F∥平面ADE．

Answer 1

解：（1）∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，
∴CC1⊥平面ABC，
∵AD⊂平面ABC，
∴AD⊥CC1
又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线
∴AD⊥平面BCC1B1，
∵AD⊂平面ADE
∴平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点
∴A1F⊥B1C1，
∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，
∴A1F⊥CC1
又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线
∴A1F⊥平面BCC1B1
又∵AD⊥平面BCC1B1，
∴A1F∥AD
∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，
∴直线A1F∥平面ADE．

Answer 2

（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点
∴A1F⊥B1C1，
∵CC1⊥平面A1B1C1，CC1⊂平面BCC1B1,
∴平面A1B1C1⊥平面BCC1B1,、
平面A1B1C1∩平面BCC1B1=B1C1
又∵A1F⊂平面A1B1C1，且A1F⊥B1C1
∴A1F⊥平面BCC1B1
∵CC1⊂平面A1B1C1
∴A1F⊥CC1
又∵AD⊥平面BCC1B1，
∴A1F∥AD
∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，
∴直线A1F∥平面ADE．