Question

已知数列{an}满足a1=2,a(n+1)=4an+2的n+1次方（n∈正整数）

(1)令bn=（an/2的n次方）+1,求证:数列{bn}为等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式
(3)求满足an≥240的最小正整数n

Answer 1

1.
a(n+1)=4an+2^(n+1)
等式两边同除以2^(n+1)
a(n+1)/2^(n+1)=an/2^(n-1) +1=2an/2ⁿ +1
a(n+1)/2^(n+1) +1=2an/2ⁿ +2=2(an/2ⁿ +1)
[a(n+1)/2^(n+1)]/(an/2ⁿ +1)=2，为定值。
a1/2+1=2/2+1=2
数列{an/2ⁿ +1}是以2为首项，2为公比的等比数列。
bn=an/2ⁿ +1
数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列。

2.
an/2ⁿ +1=2×2^(n-1)=2ⁿ
an=2ⁿ(2ⁿ-1)=4ⁿ-2ⁿ
n=1时，a1=4-2=2，同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=4ⁿ-2ⁿ
3.
an≥240
4ⁿ-2ⁿ≥240
(2ⁿ)²-2ⁿ-240≥0
(2ⁿ+15)(2ⁿ-16)≥0
2ⁿ≤-15(2ⁿ恒为正，舍去)或2ⁿ≥16
n≥4，所求的最小的正整数n=4。