Question

（急）多元函数微积分证明题

设函数u=f(x,,y,z),x=rsinψcosθ,y=rsinψsinθ,z=rcosψ,，其中f具有连续偏导数，证明：
1.如果xdu/dx+ydu/dy+zdu/dz=0，则u仅是ψ和θ的函数;

2.如果(du/dx)/x=(du/dy)y=(du/dz)/z，则u仅是r的函数、

偏导符号打不出来，用d代替。

Answer 1

1. du/dr = du/dx * dx/dr + du/dy * dy/dr + du/dz * dz/dr
= du/dx sinψcosθ + du/dy sinψsinθ + du/dz cosψ
= 1/r [xdu/dx + ydu/dy +zdu/dz) =0
所以u与r无关，只是ψ和θ的函数
2.同理，
du/dθ = du/dx dx/dθ + du/dy dy/dθ + du/dz dz/dθ
= -rsinθsinψ du/dx + rsinψcosθdu/dy
= -r^2sin^2ψ sinθ cosθ[du/dx /x - du/dy /y]=0
同理可以怎么du/dψ =0
所以u只与r有关