Question

已知向量a=(cosα,sinα),向量b=(cosβ,sinβ),|a-b|=2根号5/5，

已知向量a=(cosα,sinα),向量b=(cosβ,sinβ),|a-b|=2根号5/5
1.求cos（α-β）的值；
2.若-π/2＜β＜0＜α＜π/2，sinβ=-5/13，求sinα的值。

Answer 1

（1）由a-b=（cosα-cosβ，sinα-sinβ)
|a-b|=√[(（cosα-cosβ)²+(sinα-sinβ)²]
=√(1+1-2cos（α-β）=2√5/5
2-2cos(α-β)=4/5
cos(α-β)=3/5.
(2)由sinβ=-5/13，-π/2＜β＜0，
∴cosβ=12/13.
由cos（α-β）=3/5，∴sin（α-β）=4/5
sinα=sin[（α-β）+β]
=sin（α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ
=4/5×12/13+3/5×(-5/13)
=33/65.

Answer 2

(1)根号(cosa-cosb)*2+(sina-sinb)*2=(2根号5)/5

cosa*2+sina*2+cosb*2+sinb*2-2cosacosb-2sinasinb=4/5
所以-2cos(a-b)=4/5-2=-6/5
所以cos(a-b)=3/5
(2)因为-π/2<b<0<a<π/2 sinb=-5/13
所以sin(a-b)=4/5 cosb=12/13
所以sina=sin[(a-b)+b]
=sin(a-b)cosb+cos(a-b)sina
=4/5x12/13+3/5x(-5/13)
=33/65