Question

设函数f(x)=x-1/x-alnx（a∈R）．(1)讨论函数f(x)的单调性

Answer 1

定义域（0,+∞）

求导得f'(x)=1+ 1/x² -a/x =(x²-ax+1)/x²

令h(x)=x²-ax+1

这是一个过定点（0,1）开口向上的抛物线

对称轴是x=a/2

(1)当a/2≤0或△≤0 即a≤2时,h(x)在（0,+∞）恒大于等于0

此时f(x)在（0,+∞）是增函数

(2)当a/2>0且△>0 即a>2时

h(x)=0的两根是[a±√(a²-4)]/2

单调函数

一般地，设一连续函数 f(x) 的定义域为D，则：

如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1) >f(x2)，即在D上具有单调性且单调增加，那么就说f(x) 在这个区间上是增函数。

相反地，如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1) <f(x2)，即在D上具有单调性且单调减少，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数。

Answer 2

1.f(x)定义域大于0
f'(x)=1+1/x�0�5-a/x
令f'(x)=0,则1+1/x�0�5-a/x=0
x�0�5-ax+1=0
△=a�0�5-4
①△＞0，即a<-2或a>2
则 x�0�5-ax+1=0的两根为[a±√(a�0�5-4)]/2
所以当a>2时， [a-√(a�0�5-4)]/2>0，则f(x)在(0，[a-√(a�0�5-4)]/2 )和([a+√(a�0�5-4)]/2 ，+∞）分别单调增
在（ [a-√(a�0�5-4)]/2，[a+√(a�0�5-4)]/2 ）上单调减

当a<-2时，[a-√(a�0�5-4)]/2<0，则f(x)在([a+√(a�0�5-4)]/2 ，+∞）单调增
在（ 0，[a+√(a�0�5-4)]/2 ）上单调减
②△≤0，则-2≤a≤2
则f(x)在（0，+∞）上单调增

Answer 3

Answer 4

求导=1-1/x2-a/x 可化为x2-ax-1>0时 增函数 即a2+4>0时 因为恒大于零 所以就是增函数

Answer 5