Question

设Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列． （Ⅰ）求数列{an}的公比q

（Ⅱ）求证：a3，a9，a6成等差数列；
（Ⅲ）当am，as，（m，s，t∈[1，10]，m，s，t互不相等）成等差数列时，求m+s+t的值．

Answer 1

（Ⅱ）∵2a9-a3-a6=2a1q8-a1q2-a1q5=a1q2（2q6-1-q3）=0，
∴2a9=a3+a6，∴a3，a9，a6成等差数列．
（Ⅲ）S3，S9，S6成等差数列⇔2q6-q3-1=0⇔2q6=q3+1⇔2a1q6=a1q3+a1⇔2a7=a4+a1，
∴a1，a7，a4成GP或a4，a7，a1成GP，则m+s+t=12，
同理：a2，a8，a5成GP或a5，a8，a2成GP，
则m+s+t=15，a3，a9，a6成GP或a6，a9，a3成GP，
则m+s+t=18，a4，a10，a7成GP或a7，a10，a4成GP，
则m+s+t=21，∴m+s+t的值为12，15，18，21