Question

1．（2012•株洲）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5⽶，AC=12⽶．M点在线段CA上，

1．（2012•株洲）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5⽶，AC=12⽶．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1⽶/秒； 同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2⽶/秒．运动时间为t秒． （1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？ （2）当t为何值时，△AMN的⾯积最⼤？并求出这个最⼤值

Answer 1

（1）因为当AM=AN时，∠AMN=∠ANM，所以即求当t为何值时，AM=AN；
AM=12-t，AN=2t
所以由12-t=2t解得t=4秒
所以当t等于4秒时，∠AMN=∠ANM。
（2）过N点作AC的垂线交AC于D点
Samn=1/2AM*ND
AM=12-t AN=2t
△ADN与△ABC为相似三角形
所以DN/BC=AN/AB
因为△ABC为直角三角形
所以 AB²=BC²+AC² 求得AB=13
所以DN=5/13*AN=10/13t
S=1/2×(12-t）×10/13t
=-5/13（t-6）² ＋180/13
所以当t=6时，△AMN的⾯积最⼤
最大S=180/13