Question

一道关于逐点问题的数学题，由于题目本身不全，我看得不是很懂，望高人给予帮助。只言片语给个方向也好

Answer 1

题目基本上已经写得很明白了.
f_n(x)是一列连续函数, 逐点收敛到连续函数f(x).
F_n(x)与F(x)分别为f_n(x)与f(x)的原函数.
判断三个结果中哪个是成立的.

第一个可以比较偷懒的否定.
因为条件只说明了F(x)是一个原函数, 并未指定积分常数, 所以可以在这里做文章.
取f_n(x) = 0, f(x) = 0, 显然满足条件.
F_n(x) = 0是f_n(x)的一个原函数, F(x) = 1是f(x)的一个原函数.
但∫{0,x} F_n(t)dt = 0并不收敛到∫{0,x} F(t)dt = x.
因此结论不成立.

第二个则是比较显然的成立.
因为F_n(x) = ∫ f_n(x)dx, 所以F'_n(x) = f_n(x).
而已知f_n(x)逐点收敛到f(x), 于是F'_n(x)逐点收敛到f(x).

第三个是不成立的, 这个比较麻烦.
取g(x)为一分段函数, 在[0,1]上g(x) = x, 在[1,2]上g(x) = 2-x, 在其余点取0, 易见g(x)连续.
令f_n(x) = g(nx)/n, 从图像上就是横向压缩为1/n, 再纵向拉伸为n倍.
可以验证f_n(x)逐点收敛到f(x) = 0.
而易于算得∫{0,2} f_n(t)dt = 1并不收敛到∫{0,2} f(t)dt = 0.
因此结论不成立.

有个原则: 当有两个极限过程需要交换次序时, 一般需要其中之一有某种一致性.
这里就是交换定积分和函数列极限两个极限过程.
一般讲的充分条件是函数列是一致收敛的.
或由Lebesgue控制收敛定理, 只需函数列有(一致的)可积上界函数.